Σταθερό σημείο αύξουσας
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Σταθερό σημείο αύξουσας
Ναι, υπάρχει.
Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο. Έστω μια αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε . Θεωρούμε το σύνολο
Είναι , γιατί από την υπόθεσή μας έχουμε ότι άρα .
Επίσης, οπότε το είναι άνω φραγμένο.
Έστω . Προφανώς, είναι . Θα αποδείξουμε ότι καταλήγοντας σε άτοπο και αποδεικνύοντας το ζητούμενο.
Αν ήταν τότε για κάθε θα είχαμε ότι , άρα , πράγμα άτοπο, αφού η είναι αύξουσα.
Αν ήταν τότε θα υπήρχε τέτοιο, ώστε , άρα , πάλι άτοπο, αφού η είναι αύξουσα.
Άρα, θα ισχύει οπότε το συμπέρασμα έπεται.
Ας σημειωθεί ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει αν υποθέσουμε ότι η είναι φθίνουσα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση
είναι φθίνουσα, χωρίς σταθερό σημείο.
Μπορούμε να βρούμε και αντιπαράδειγμα με γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, π.χ. την
.
Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο. Έστω μια αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε . Θεωρούμε το σύνολο
Είναι , γιατί από την υπόθεσή μας έχουμε ότι άρα .
Επίσης, οπότε το είναι άνω φραγμένο.
Έστω . Προφανώς, είναι . Θα αποδείξουμε ότι καταλήγοντας σε άτοπο και αποδεικνύοντας το ζητούμενο.
Αν ήταν τότε για κάθε θα είχαμε ότι , άρα , πράγμα άτοπο, αφού η είναι αύξουσα.
Αν ήταν τότε θα υπήρχε τέτοιο, ώστε , άρα , πάλι άτοπο, αφού η είναι αύξουσα.
Άρα, θα ισχύει οπότε το συμπέρασμα έπεται.
Ας σημειωθεί ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει αν υποθέσουμε ότι η είναι φθίνουσα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση
είναι φθίνουσα, χωρίς σταθερό σημείο.
Μπορούμε να βρούμε και αντιπαράδειγμα με γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, π.χ. την
.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες