Σελίδα 1 από 1

Διπλό ολοκλήρωμα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 13, 2019 12:10 pm
από Tolaso J Kos
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\ln^3 xy}{1+xy} \, \mathrm{d}(x, y) =-\frac{45 \zeta(5)}{2}}

Re: Διπλό ολοκλήρωμα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 16, 2019 12:35 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:10 pm
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\ln^3 xy}{1+xy} \, \mathrm{d}(x, y) =-\frac{45 \zeta(5)}{2}}
Είναι \displaystyle \frac{1}{1+xy}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}y^{n}

Γράφοντας

\displaystyle (\ln xy)^{3}=(\ln x+ln y)^{3}=....


αρκεί να υπολογισθούν τα

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (\ln x)^{i}(\ln y)^{j}x^{n}y^{n}dx dy

οπου

0\leq i,j\leq 3,i+j=3

Τελικά πρέπει να υπολογισθούν τα

\displaystyle I_{n,i}= \int_{0}^{1} (\ln x)^{i}x^{n}dx ,i=0,1,2,3

Εύκολα βρίσκουμε ότι

\displaystyle I_{n,0}= \frac{1}{n+1},I_{n,1}= -\frac{1}{(n+1)^{2}},I_{n,2}= \frac{2}{(n+1)^{3}},I_{n,3}= -\frac{6}{(n+1)^{4}},

Αν αντικαταστήσουμε προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα είναι

\displaystyle -24(\sum _{odd}\frac{1}{n^{5}}-\sum _{even}\frac{1}{n^{5}})

από όπου προκύπτει εύκολα το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά με τα ολοκληρώματα γιατί έχουμε απόλυτη σύγκλιση.


Επίσης βάζω στοίχημα ότι αυτό το αποτέλεσμα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι το

\zeta(5) είναι άρρητος.