Διπλό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Διπλό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 13, 2019 12:10 pm

Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\ln^3 xy}{1+xy} \, \mathrm{d}(x, y) =-\frac{45 \zeta(5)}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διπλό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 16, 2019 12:35 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:10 pm
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\ln^3 xy}{1+xy} \, \mathrm{d}(x, y) =-\frac{45 \zeta(5)}{2}}
Είναι \displaystyle \frac{1}{1+xy}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}y^{n}

Γράφοντας

\displaystyle (\ln xy)^{3}=(\ln x+ln y)^{3}=....


αρκεί να υπολογισθούν τα

\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (\ln x)^{i}(\ln y)^{j}x^{n}y^{n}dx dy

οπου

0\leq i,j\leq 3,i+j=3

Τελικά πρέπει να υπολογισθούν τα

\displaystyle I_{n,i}= \int_{0}^{1} (\ln x)^{i}x^{n}dx ,i=0,1,2,3

Εύκολα βρίσκουμε ότι

\displaystyle I_{n,0}= \frac{1}{n+1},I_{n,1}= -\frac{1}{(n+1)^{2}},I_{n,2}= \frac{2}{(n+1)^{3}},I_{n,3}= -\frac{6}{(n+1)^{4}},

Αν αντικαταστήσουμε προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα είναι

\displaystyle -24(\sum _{odd}\frac{1}{n^{5}}-\sum _{even}\frac{1}{n^{5}})

από όπου προκύπτει εύκολα το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά με τα ολοκληρώματα γιατί έχουμε απόλυτη σύγκλιση.


Επίσης βάζω στοίχημα ότι αυτό το αποτέλεσμα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι το

\zeta(5) είναι άρρητος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες