Σελίδα 1 από 1

Όριο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 11:06 am
από Tolaso J Kos
Ας δηλώνει το \cdot! το παραγοντικό του πραγματικού αριθμού x·, δηλ. x!=\Gamma(x+1). Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow n} \frac{x!-n!}{x-n}}

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 1:31 pm
από panagiotis iliopoulos
Στην ουσία αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x! στο n.

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 2:56 pm
από Tolaso J Kos
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 1:31 pm
Στην ουσία αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x! στο n.
Σωστά. Είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow n} \frac{x!-n!}{x-n} &= \lim_{x\rightarrow n} \frac{\Gamma(x+1)- \Gamma(n+1)}{x-n} \\  
 &=\Gamma'(n+1) \\  
 &=\Gamma(n+1) \psi^{(0)}(n+1) \\  
 &=n! \left ( \mathcal{H}_n - \gamma \right )  
\end{aligned}}
όπου \mathcal{H}_n ο n-οστός αρμονικός όρος και \gamma η σταθερά Euler - Mascheroni.