Σελίδα 1 από 1

Όριο ακεραίου μέρους

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 15, 2019 8:30 pm
από Tolaso J Kos
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\sin \frac{1}{x}} \right \rfloor}

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 15, 2019 9:13 pm
από Μάρκος Βασίλης
Από τη βασική ανισότητα:

y-1\leq\lfloor y\rfloor\leq y,

για y=\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}} έχουμε:

\displaystyle \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}-1\leq\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}.

Καθώς x\to+\infty, τελικά θα είναι x>0, οπότε, πολλαπλασιάζοντας με \dfrac{1}{x} έχουμε:

\displaystyle\dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}\leq\frac{1}{x}\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq \dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}.

Υπολογίζουμε το όριο:

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}\underset{y\to0^+}{\overset{y=1/x}{=}}\lim_{y\to0^+}\frac{1}{\frac{\sin y}{y}}=1.

Έτσι, έχουμε και ότι:

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}=1-0=1,

επομένως, από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι \ell=1.

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 3:06 pm
από Tolaso J Kos
Να το συνεχίσουμε;


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}}  \right \rfloor}

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 4:12 pm
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 3:06 pm
Να το συνεχίσουμε;


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}}  \right \rfloor}
Δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό από το προηγούμενο.

Με u=1/x>0 έχουμε \displaystyle{u \left ( \dfrac {1}{\tan u} -1 \right ) \le u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le \dfrac {u}{\tan u}}

Όριο στο 0+ δίνει \displaystyle{1-0 \le \lim_{u\rightarrow 0+} u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le 1}, και λοιπά.

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 9:11 pm
από Μάρκος Βασίλης
Αυτό γενικεύεται και ως εξής: Αν f:(0,\epsilon)\to\R, \epsilon>0, συνάρτηση τέτοια ώστε:

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=c\neq0,

τότε:

\displaystyle\ell:=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\left\lfloor\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right\rfloor=\frac{1}{c}.