Όριο ακεραίου μέρους

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο ακεραίου μέρους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 15, 2019 8:30 pm

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\sin \frac{1}{x}} \right \rfloor}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακεραίου μέρους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Σεπ 15, 2019 9:13 pm

Από τη βασική ανισότητα:

y-1\leq\lfloor y\rfloor\leq y,

για y=\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}} έχουμε:

\displaystyle \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}-1\leq\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}.

Καθώς x\to+\infty, τελικά θα είναι x>0, οπότε, πολλαπλασιάζοντας με \dfrac{1}{x} έχουμε:

\displaystyle\dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}\leq\frac{1}{x}\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq \dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}.

Υπολογίζουμε το όριο:

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}\underset{y\to0^+}{\overset{y=1/x}{=}}\lim_{y\to0^+}\frac{1}{\frac{\sin y}{y}}=1.

Έτσι, έχουμε και ότι:

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}=1-0=1,

επομένως, από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι \ell=1.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακεραίου μέρους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Σεπ 20, 2019 3:06 pm

Να το συνεχίσουμε;


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}}  \right \rfloor}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακεραίου μέρους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 20, 2019 4:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 3:06 pm
Να το συνεχίσουμε;


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}}  \right \rfloor}
Δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό από το προηγούμενο.

Με u=1/x>0 έχουμε \displaystyle{u \left ( \dfrac {1}{\tan u} -1 \right ) \le u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le \dfrac {u}{\tan u}}

Όριο στο 0+ δίνει \displaystyle{1-0 \le \lim_{u\rightarrow 0+} u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le 1}, και λοιπά.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακεραίου μέρους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Παρ Σεπ 20, 2019 9:11 pm

Αυτό γενικεύεται και ως εξής: Αν f:(0,\epsilon)\to\R, \epsilon>0, συνάρτηση τέτοια ώστε:

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=c\neq0,

τότε:

\displaystyle\ell:=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\left\lfloor\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right\rfloor=\frac{1}{c}.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Tolaso J Kos και 1 επισκέπτης