mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm**

Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$ . Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$

Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})}$ , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}$

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

$\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2019 8:18 pm**

sot arm έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}$

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

$\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}$

Ή, χάριν ποικιλίας, από την σταθερά Euler $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln n \to \gamma$ έχουμε

$\displaystyle{ \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}} = \frac{-\left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right ) }{\ln n}} -1 \to 0 -1}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2019 8:42 pm**

sot arm έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$ . Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$
Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})}$ , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}$

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

$\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}$

Γεια σου Σωτήρη.
Για Cesaro-Stolz εννοείς αυτό
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2% ... ro_theorem
η κάτι άλλο;
Αν εννοείς το παραπάνω το έχεις εφαρμόσει ανάποδα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2019 9:11 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2019 8:42 pm

sot arm έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$ . Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$
Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})}$ , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}$

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

$\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}$
Γεια σου Σωτήρη.
Για Cesaro-Stolz εννοείς αυτό
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2% ... ro_theorem
η κάτι άλλο;
Αν εννοείς το παραπάνω το έχεις εφαρμόσει ανάποδα.

Καλησπέρα, αυτό εννοώ. Σωστά, νομίζω, το έχω εφαρμόσει, απλα ίσως ο τροπος που το έγραψα να μην το κάνει ξεκάθαρο. Αφου το δευτερο όριο ισούται με - 1 και το ζητούμενο θα ισούται με

.

mathematica.gr

Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας