Όριο αναδρομικής ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο αναδρομικής ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm

Ορίζουμε f_0=\ln x και αναδρομικά \displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε f_0=\ln x και αναδρομικά \displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}. Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}
Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: \displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})} , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 16, 2019 8:18 pm

sot arm έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}
Ή, χάριν ποικιλίας, από την σταθερά Euler  \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln n \to  \gamma έχουμε

\displaystyle{ \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}} = \frac{-\left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}   - \ln n \right ) }{\ln n}} -1 \to 0 -1}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 16, 2019 8:42 pm

sot arm έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε f_0=\ln x και αναδρομικά \displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}. Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}
Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: \displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})} , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}
Γεια σου Σωτήρη.
Για Cesaro-Stolz εννοείς αυτό
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2% ... ro_theorem
η κάτι άλλο;
Αν εννοείς το παραπάνω το έχεις εφαρμόσει ανάποδα.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Σεπ 16, 2019 9:11 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 8:42 pm
sot arm έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 6:04 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:26 pm
Ορίζουμε f_0=\ln x και αναδρομικά \displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}. Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}
Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας:

Επαγωγικά: \displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})} , οι μικρές περιπτώσεις είναι άμεσες και το επαγωγικό βήμα είναι μόνο μία παραγοντική.Άρα ψάχνουμε το:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln n}}

Ο παρονομαστής είναι μη φραγμένη αύξουσα ακολουθία άρα από Cesaro-Stolz:

\displaystyle{\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-1}{(n+1)ln(\frac{n+1}{n})}=\frac{-1}{lne}=-1}
Γεια σου Σωτήρη.
Για Cesaro-Stolz εννοείς αυτό
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2% ... ro_theorem
η κάτι άλλο;
Αν εννοείς το παραπάνω το έχεις εφαρμόσει ανάποδα.
Καλησπέρα, αυτό εννοώ. Σωστά, νομίζω, το έχω εφαρμόσει, απλα ίσως ο τροπος που το έγραψα να μην το κάνει ξεκάθαρο. Αφου το δευτερο όριο ισούται με - 1 και το ζητούμενο θα ισούται με -1.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης