Σελίδα 1 από 1

Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 12, 2019 9:31 pm
από Tolaso J Kos
Έστω f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n συνεχώς διαφορίσιμη. Υποθέτουμε ότι ο Ιακωβιανός πίνακας \displaystyle \left ( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right ) έχει βαθμίδα n παντού. Επίσης υποθέτουμε ότι το f^{-1}(K) είναι συμπαγές όταν το K είναι συμπαγές. Να δειχθεί ότι f \left ( \mathbb{R}^n \right ) = \mathbb{R}^n.


Άνευ λύσης!

Re: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 13, 2019 1:48 pm
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Ἀφοῦ ἡ f εἶναι συνεχῶς διαφορίσιμη καὶ ἔχει ἀντιστρέψιμο διαφορικό, τότε εἶναι ἀνοικτὴ ἀπεικόνιση (Inverse Function Theorem). Ἄρα f[\mathbb R^n] ἀνοικτό. Ἔστω \mathbb R^n\setminus f[\mathbb R^n]\ne\varnothing καὶ y_0\in \partial f[\mathbb R^n]\ne\varnothing. Προφανῶς y_0\not \in f[\mathbb R^n], ἀφοῦ f ἀνοικτή. Τότε \overline{B}(y_0,1) συμπαγὲς καὶ ἐξ ὑποθέσεως, f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)]\ne\varnothing ἐπίσης. Ἰδιαιτέρως, ἄν y_n\to y_0, καὶ \{y_n\}\subset f[\mathbb R^n]\cap \overline{B}(y_0,1), καὶ \{x_n\}\in f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)], ὥστε f(x_n)=y_n, τότε ἡ \{x_n\} ἔχει συγκλἰνουσα ὑπακολουθία \{z_n\} μὲ ὅριο z_0\in f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)] καὶ f(z_n)\to f(z)\in f[\mathbb R^n]. Ταυτοχρὀνως, f(z_n)\to y_0. Ἄτοπο.

Re: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 13, 2019 3:21 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Λίγο διαφορετικά ως προς το δεύτερο του Γιώργου.

Όπως ο Γιώργος το

f[\mathbb R^n] ανοικτό.

Θα δείξω ότι είναι και κλειστό.

Εστω y_{k}\in f[\mathbb R^n],k\in \mathbb{N}
με
y_{k}\rightarrow y
το σύνολο
K=\left \{ y_{k}:k\in \mathbb{N} \right \}\cup \left \{ y \right \}
είναι συμπαγές.

Αν f(x_{k})=y_{k}

τότε
x_{k}\in f^{-1}(K)

που είναι συμπαγές.

Αρα υπάρχει x_{m_{k}}\rightarrow x

Αμεσο λόγω συνέχειας είναι ότι f(x)=y

συμπεραίνουμε ότι το
f[\mathbb R^n] κλειστό.

Αφού δεν είναι κενό η συνεκτικότητα μας δίνει ότι

f[\mathbb R^n]= \mathbb R^n