Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ...δεν έχω λύση...

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\cdot logx}{e^{\sqrt{x}}}dx$

Tolaso J Kos · #2

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 8:40 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ...δεν έχω λύση...

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\cdot logx}{e^{\sqrt{x}}}dx$

Θα υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Mellin της συνάρτησης $f(x)=e^{-\sqrt{x}}$ .

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{M}\left ( f \right ) &= \int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2\int_{0}^{\infty} u^{2s-1} e^{-u} \, \mathrm{d}u\\ &= 2 \Gamma\left ( 2s \right ) \end{aligned}}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x \log x e^{-\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x &= \mathcal{M}'(f) \bigg|_2 \\ &= \left ( 2 \Gamma(2s) \right )'\bigg|_{2}\\ &= 4 \Gamma(2s) \psi^{(0)}(2s) \bigg|_{2}\\ &=4 \Gamma(4) \psi^{(0)}(4) \\ &= 4 \cdot 6 \cdot \left ( \frac{11}{6} - \gamma \right ) \\ &=44 - 24 \gamma \end{aligned}}$
όπου $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni και $\psi^{(0)}$ η διγάμμα.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση