Πολύ κομψό και γεωμετρικό πρόβλημα. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η

είναι φθίνουσα, αφού αν ήταν αύξουσα θα είχαμε

για κάθε

, οπότε και

το οποίο αντιφάσκει με τις υποθέσεις μας. Επομένως, η

είναι φθίνουσα. Τώρα, αν πάρουμε τα άνω και κάτω αθροίσματα Darboux στο διάστημα
![[0,kh] [0,kh]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6597c44ffd6e15b3f62d039bbae9bd1c.png)
για κάποιον φυσικό αριθμό

και κάποιο

, έχουμε την ανισότητα (η

είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα
![[0,a] [0,a]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/13596d6674a86fdafa24c4c414033e58.png)
αφού το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει):
![\displaystyle\sum_{n=0}^{k-1}h\sup\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}h\inf\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\}, \displaystyle\sum_{n=0}^{k-1}h\sup\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}h\inf\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\},](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e5182e5ac4853ee327847de6e7845d36.png)
η οποία, δεδομένου ότι η

είναι φθίνουσα, γράφεται;

όπου, αν στο δεξί μέλος αλλάξουμε μετρητή και προσθαφαιρέσουμε τον μηδενικό όρο, έχουμε:

Παίρνοντας όρια καθώς

, έπεται ότι:

Τέλος, αφήνοντας το

, έπεται το ζητούμενο:
