Όριο σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 5:36 pm

Το θέμα εδώ μου θύμισε το παρακάτω πρόβλημα...


Έστω f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} μονότονη ώστε το ολοκλήρωμα \int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x να συγκλίνει και f(x)>0 για κάθε x \in [0, +\infty) και \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0^+} h\sum_{n=0}^\infty f(nh) =\int_{0}^\infty f(x) \; \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Όριο σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Σεπ 02, 2019 1:36 am

Πολύ κομψό και γεωμετρικό πρόβλημα. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η f είναι φθίνουσα, αφού αν ήταν αύξουσα θα είχαμε f(x)\geq f(0)>0 για κάθε x\geq0, οπότε και \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\geq f(0)>0 το οποίο αντιφάσκει με τις υποθέσεις μας. Επομένως, η f είναι φθίνουσα. Τώρα, αν πάρουμε τα άνω και κάτω αθροίσματα Darboux στο διάστημα [0,kh] για κάποιον φυσικό αριθμό k και κάποιο h>0, έχουμε την ανισότητα (η f είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα [0,a] αφού το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει):
\displaystyle\sum_{n=0}^{k-1}h\sup\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}h\inf\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\},
η οποία, δεδομένου ότι η f είναι φθίνουσα, γράφεται;
\displaystyle h\sum_{n=0}^{k-1}f(nh)\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}hf((n+1)h),
όπου, αν στο δεξί μέλος αλλάξουμε μετρητή και προσθαφαιρέσουμε τον μηδενικό όρο, έχουμε:
\displaystyle h\sum_{n=0}^{k-1}f(nh)\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k}hf(nh)-hf(0).
Παίρνοντας όρια καθώς k\to+\infty, έπεται ότι:
\displaystyle h\sum_{n=0}^{\infty}kf(nh)\geq\int_0^{\infty}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{\infty}hf(nh)-hf(0).
Τέλος, αφήνοντας το h\to0+, έπεται το ζητούμενο:
\displaystyle h\sum_{n=0}^{\infty}kf(nh)\geq\int_0^{\infty}f(x)dx.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης