Τάξη μεγέθους

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 709
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τάξη μεγέθους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Σεπ 01, 2019 3:52 pm

Να δείξετε ότι \lim_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sum_{n=0}^{\infty }x^{n^2}}{\sqrt{\dfrac{\pi }{1-x}}}=\dfrac{1}{2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τάξη μεγέθους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 5:05 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 3:52 pm
Να δείξετε ότι \lim_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sum_{n=0}^{\infty }x^{n^2}}{\sqrt{\dfrac{\pi }{1-x}}}=\dfrac{1}{2}.

Ισοδύναμα πρέπει να δείξουμε ότι \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-} \sqrt{1-x} \sum_{n=0}^{\infty} x^{n^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}. Δουλεύουμε για x κοντά στο 1. Από το Integral Comparison Test έχουμε ότι:

\displaystyle{\int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t \leq \sum_{n=0}^\infty x^{n^2} \leq 1 + \int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t}
Όμως,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t &= \int_0^\infty \exp\left[-\left(t\sqrt{-\log x}\right)^2\right]\,\mathrm{d}t \\ 
&= \frac{1}{\sqrt{-\log x}} \int_0^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u \\ 
&= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{-\log x}} 
\end{aligned}}
Από ισοσυγκλίνουσες το αποτέλεσμα έπεται. :) Όμορφη ασκησούλα!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τάξη μεγέθους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 5:14 pm

By the way, ισχύει και το γενικότερο:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^-}(1-x)^{1/c}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^c}= \Gamma\left(1+\frac{1}{c}\right)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες