Τάξη μεγέθους

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sum_{n=0}^{\infty }x^{n^2}}{\sqrt{\dfrac{\pi }{1-x}}}=\dfrac{1}{2}.$

Tolaso J Kos · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 3:52 pm Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sum_{n=0}^{\infty }x^{n^2}}{\sqrt{\dfrac{\pi }{1-x}}}=\dfrac{1}{2}.$

Ισοδύναμα πρέπει να δείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-} \sqrt{1-x} \sum_{n=0}^{\infty} x^{n^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}$ . Δουλεύουμε για

κοντά στο

. Από το Integral Comparison Test έχουμε ότι:

$\displaystyle{\int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t \leq \sum_{n=0}^\infty x^{n^2} \leq 1 + \int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t}$
Όμως,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_0^\infty x^{t^2}\,\mathrm{d}t &= \int_0^\infty \exp\left[-\left(t\sqrt{-\log x}\right)^2\right]\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\sqrt{-\log x}} \int_0^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{-\log x}} \end{aligned}}$
Από ισοσυγκλίνουσες το αποτέλεσμα έπεται.

Όμορφη ασκησούλα!!

Tolaso J Kos · #3

By the way, ισχύει και το γενικότερο:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^-}(1-x)^{1/c}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^c}= \Gamma\left(1+\frac{1}{c}\right)}$

Τάξη μεγέθους

Τάξη μεγέθους

Re: Τάξη μεγέθους

Re: Τάξη μεγέθους

Μέλη σε σύνδεση