Σελίδα 1 από 1

Όριο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
από Tolaso J Kos
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 01, 2019 12:05 am
από Λάμπρος Κατσάπας
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}
Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.

Παίρνοντας Taylor στο 0 έχουμε \sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6) και x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6).

Άρα \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}. Η  f λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο (0,\frac{\pi}{2} ].

Το ίδιο και η \cos ax. Άρα το όριο είναι όντως 0.

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 01, 2019 12:22 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:05 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}
Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.

Παίρνοντας Taylor στο 0 έχουμε \sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6) και x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6).

Άρα \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}. Η  f λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο (0,\frac{\pi}{2} ].

Το ίδιο και η \cos ax. Άρα το όριο είναι όντως 0.
πολύ σωστά.Με πρόλαβες Λάμπρο.

Αλλά και το a να μην ήταν στον παρανομαστή πάλι 0 θα ηταν.

Riemann-Lebesgue.

Διπλή απάτη λοιπόν.