Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Σεπ 01, 2019 12:05 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}
Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.

Παίρνοντας Taylor στο 0 έχουμε \sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6) και x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6).

Άρα \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}. Η  f λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο (0,\frac{\pi}{2} ].

Το ίδιο και η \cos ax. Άρα το όριο είναι όντως 0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 12:22 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:05 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}
Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.

Παίρνοντας Taylor στο 0 έχουμε \sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6) και x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6).

Άρα \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}. Η  f λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο (0,\frac{\pi}{2} ].

Το ίδιο και η \cos ax. Άρα το όριο είναι όντως 0.
πολύ σωστά.Με πρόλαβες Λάμπρο.

Αλλά και το a να μην ήταν στον παρανομαστή πάλι 0 θα ηταν.

Riemann-Lebesgue.

Διπλή απάτη λοιπόν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης