Θέμα με σύνολο και inf, sup

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Θέμα με σύνολο και inf, sup

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm

Εκφώνηση
Δίνεται το σύνολο A=\begin{Bmatrix} 1+\frac{2}{n^{2}}: n\epsilon \mathbb{N} \end{Bmatrix}.
1) Να δειχθεί ότι το σύνολο Α δεν είναι κλειστό.
2) Να βρεθούν τα supA, infA.

Απόπειρα λύσης
1)Αν y\epsilon A τότε y=1+\frac{2}{x^{2}}, για κάποιο x\epsilon \mathbb{N}. Αφού \mathbb{N}\subseteq (0,+\infty ) βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).

2)???

Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Αύγ 16, 2019 2:55 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Εκφώνηση
Δίνεται το σύνολο A=\begin{Bmatrix} 1+\frac{2}{n^{2}}: n\epsilon \mathbb{N} \end{Bmatrix}.
1) Να δειχθεί ότι το σύνολο Α δεν είναι κλειστό.
2) Να βρεθούν τα supA, infA.

Απόπειρα λύσης
1)Αν y\epsilon A τότε y=1+\frac{2}{x^{2}}, για κάποιο x\epsilon \mathbb{N}. Αφού \mathbb{N}\subseteq (0,+\infty ) βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).

2)???

Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
Καλησπέρα.

1)Είναι απλό να δεις ότι το 1 είναι σημείο συσσώρευσης αλλά 1\notin A.

2)Είναι \sup A=3 που είναι και το μέγιστο στοιχείο του A.

Είναι \inf A=1. Δείξε ότι o 1 είναι κάτω φράγμα του A και από τον χαρακτηρισμό του

\inf μπορούμε να βρούμε στοιχείο του A μικρότερο από 1+\varepsilon για \varepsilon>0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11474
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 16, 2019 3:17 pm

Επειδή ακριβώς γράφεις
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
παίρνω το θάρρος να πω ότι αυτό το μέρος του συλλογισμού
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
... βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).
Είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός που σε διαγώνισμα σίγουρα θα μηδενιζόταν η άσκηση. Μάλλον κάτι άλλο θέλεις να πεις, οπότε κάνε άλλη μία προσπάθεια. Βέβαια, ήδη έχει γράψει λύση ο Λάμπρος, αλλά προσπάθησε να δεις τι εννοεί και προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι τόσο λάθος το επιχείρημά σου.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Παρ Αύγ 16, 2019 5:01 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:55 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Εκφώνηση
Δίνεται το σύνολο A=\begin{Bmatrix} 1+\frac{2}{n^{2}}: n\epsilon \mathbb{N} \end{Bmatrix}.
1) Να δειχθεί ότι το σύνολο Α δεν είναι κλειστό.
2) Να βρεθούν τα supA, infA.

Απόπειρα λύσης
1)Αν y\epsilon A τότε y=1+\frac{2}{x^{2}}, για κάποιο x\epsilon \mathbb{N}. Αφού \mathbb{N}\subseteq (0,+\infty ) βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).

2)???

Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
Καλησπέρα.

1)Είναι απλό να δεις ότι το 1 είναι σημείο συσσώρευσης αλλά 1\notin A.

2)Είναι \sup A=3 που είναι και το μέγιστο στοιχείο του A.

Είναι \inf A=1. Δείξε ότι o 1 είναι κάτω φράγμα του A και από τον χαρακτηρισμό του

\inf μπορούμε να βρούμε στοιχείο του A μικρότερο από 1+\varepsilon για \varepsilon>0.
Οκ από το όριο βρήκα ότι πράγματι το 1 είναι σσ. Πώς αυτό συνδέεται με την ανοικτότητα του συνόλου;
Το μέγιστο στοιχείο του Α το βρήκατε δια ποιά οδό;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Αύγ 16, 2019 5:34 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 5:01 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:55 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Εκφώνηση
Δίνεται το σύνολο A=\begin{Bmatrix} 1+\frac{2}{n^{2}}: n\epsilon \mathbb{N} \end{Bmatrix}.
1) Να δειχθεί ότι το σύνολο Α δεν είναι κλειστό.
2) Να βρεθούν τα supA, infA.

Απόπειρα λύσης
1)Αν y\epsilon A τότε y=1+\frac{2}{x^{2}}, για κάποιο x\epsilon \mathbb{N}. Αφού \mathbb{N}\subseteq (0,+\infty ) βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).

2)???

Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
Καλησπέρα.

1)Είναι απλό να δεις ότι το 1 είναι σημείο συσσώρευσης αλλά 1\notin A.

2)Είναι \sup A=3 που είναι και το μέγιστο στοιχείο του A.

Είναι \inf A=1. Δείξε ότι o 1 είναι κάτω φράγμα του A και από τον χαρακτηρισμό του

\inf μπορούμε να βρούμε στοιχείο του A μικρότερο από 1+\varepsilon για \varepsilon>0.
Οκ από το όριο βρήκα ότι πράγματι το 1 είναι σσ. Πώς αυτό συνδέεται με την ανοικτότητα του συνόλου;
Το μέγιστο στοιχείο του Α το βρήκατε δια ποιά οδό;
Η άσκηση λέει να δείξεις ότι δεν είναι κλειστό. όχι να δείξεις ότι είναι ανοικτό. Υπάρχουν σύνολα που δεν είναι ούτε κλειστά ούτε ανοικτά π.χ. το Q.

Tο A, αν το δεις σαν υποσύνολο του R, δεν είναι ανοικτό. Αρκεί να παρατηρήσεις ότι τα

στοιχεία του A βρίσκονται σε ''κάποια απόσταση'' μεταξύ τους. Οπότε για το τυχόν στοιχείο του A δεν

μπορούμε να βρούμε περιοχή γύρω από αυτό που να περιέχεται εξ'ολοκλήρου στο A αφού μέσα σε αυτή θα

περιέχονται και άλλα στοιχεία που δεν ανήκουν στο A.

Ένα κλειστό οφείλει να περιέχει τα σ.σ. του. Με αυτό το σκεπτικό απάντησα στο πρώτο ερώτημα.

Για το άλλο ερώτημα πάρε n=1 και έπειτα δείξε ότι για κάθε n>1 ισχύει a<3 όπου a\in A.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Παρ Αύγ 16, 2019 6:55 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 5:34 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 5:01 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:55 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Εκφώνηση
Δίνεται το σύνολο A=\begin{Bmatrix} 1+\frac{2}{n^{2}}: n\epsilon \mathbb{N} \end{Bmatrix}.
1) Να δειχθεί ότι το σύνολο Α δεν είναι κλειστό.
2) Να βρεθούν τα supA, infA.

Απόπειρα λύσης
1)Αν y\epsilon A τότε y=1+\frac{2}{x^{2}}, για κάποιο x\epsilon \mathbb{N}. Αφού \mathbb{N}\subseteq (0,+\infty ) βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).

2)???

Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
Καλησπέρα.

1)Είναι απλό να δεις ότι το 1 είναι σημείο συσσώρευσης αλλά 1\notin A.

2)Είναι \sup A=3 που είναι και το μέγιστο στοιχείο του A.

Είναι \inf A=1. Δείξε ότι o 1 είναι κάτω φράγμα του A και από τον χαρακτηρισμό του

\inf μπορούμε να βρούμε στοιχείο του A μικρότερο από 1+\varepsilon για \varepsilon>0.
Οκ από το όριο βρήκα ότι πράγματι το 1 είναι σσ. Πώς αυτό συνδέεται με την ανοικτότητα του συνόλου;
Το μέγιστο στοιχείο του Α το βρήκατε δια ποιά οδό;
Η άσκηση λέει να δείξεις ότι δεν είναι κλειστό. όχι να δείξεις ότι είναι ανοικτό. Υπάρχουν σύνολα που δεν είναι ούτε κλειστά ούτε ανοικτά π.χ. το Q.

Tο A, αν το δεις σαν υποσύνολο του R, δεν είναι ανοικτό. Αρκεί να παρατηρήσεις ότι τα

στοιχεία του A βρίσκονται σε ''κάποια απόσταση'' μεταξύ τους. Οπότε για το τυχόν στοιχείο του A δεν

μπορούμε να βρούμε περιοχή γύρω από αυτό που να περιέχεται εξ'ολοκλήρου στο A αφού μέσα σε αυτή θα

περιέχονται και άλλα στοιχεία που δεν ανήκουν στο A.

Ένα κλειστό οφείλει να περιέχει τα σ.σ. του. Με αυτό το σκεπτικό απάντησα στο πρώτο ερώτημα.

Για το άλλο ερώτημα πάρε n=1 και έπειτα δείξε ότι για κάθε n>1 ισχύει a<3 όπου a\in A.
Αυτό έψαχνα. Σε ευχαριστώ πάρα πολύ.
Για το άλλο ερώτημα βγαίνει και με όρισμο από ό,τι είδα. Υπάρχει περίπτωση να βγαίνει και με επαγωγή; Just a thought.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Παρ Αύγ 16, 2019 6:57 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 3:17 pm
Επειδή ακριβώς γράφεις
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
παίρνω το θάρρος να πω ότι αυτό το μέρος του συλλογισμού
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
... βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).
Είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός που σε διαγώνισμα σίγουρα θα μηδενιζόταν η άσκηση. Μάλλον κάτι άλλο θέλεις να πεις, οπότε κάνε άλλη μία προσπάθεια. Βέβαια, ήδη έχει γράψει λύση ο Λάμπρος, αλλά προσπάθησε να δεις τι εννοεί και προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι τόσο λάθος το επιχείρημά σου.
Με τιμάει πάρα πολύ που μπήκατε στον κόπο να ασχοληθείτε με την πρόταση μου και ακόμη παραπάνω να την διορθώσετε. Δυστυχώς, παρόλο που αποδέχομαι την απάντηση του προηγούμενου κυρίου δεν μπορώ να βρω το λάθος που μου λέτε. Παρόλο που συμφωνώ ότι ο ισχυρισμός είναι λανθασμένος, δεν μπορώ να εντοπίσω που. Οποιαδήποτε προσπάθεια να με διαφωτίσετε θα την εκτιμούσα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Αύγ 16, 2019 7:38 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 6:57 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 3:17 pm
Επειδή ακριβώς γράφεις
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
παίρνω το θάρρος να πω ότι αυτό το μέρος του συλλογισμού
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
... βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).
Είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός που σε διαγώνισμα σίγουρα θα μηδενιζόταν η άσκηση. Μάλλον κάτι άλλο θέλεις να πεις, οπότε κάνε άλλη μία προσπάθεια. Βέβαια, ήδη έχει γράψει λύση ο Λάμπρος, αλλά προσπάθησε να δεις τι εννοεί και προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι τόσο λάθος το επιχείρημά σου.
Με τιμάει πάρα πολύ που μπήκατε στον κόπο να ασχοληθείτε με την πρόταση μου και ακόμη παραπάνω να την διορθώσετε. Δυστυχώς, παρόλο που αποδέχομαι την απάντηση του προηγούμενου κυρίου δεν μπορώ να βρω το λάθος που μου λέτε. Παρόλο που συμφωνώ ότι ο ισχυρισμός είναι λανθασμένος, δεν μπορώ να εντοπίσω που. Οποιαδήποτε προσπάθεια να με διαφωτίσετε θα την εκτιμούσα.
O λόγος που δεν το σχολίασα είναι ότι δεν μπορώ να καταλάβω τι ακριβώς θες να πεις. Ας τα πιάσουμε ένα ένα.

Θεωρείς ένα υπερσύνολο B του A παίρνοντας x\in (0,+\infty) αντί για x \in N.

Ισχυρίζεσαι (υπαινίσσεσαι καλύτερα) ότι αφού τα στοιχεία του B είναι θετικοί θα είναι και του A.

Αυτό είναι σωστό μέχρι εδώ. Άρα το 0 είναι κάτω φράγμα του A (σωστό και αυτό). Μετά λες ότι αφού

το A έχει κάτω φράγμα το 0 δεν είναι κλειστό. Αυτό είναι λανθασμένο. Το [1,2] έχει κάτω

φράγμα το 0 αλλά είναι κλειστό. Το τελευταίο ''αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\in[0,+\infty)'' δεν

βγάζει νόημα. Για x\in N θεώρησες (σωστά) παραπάνω και όχι για κάθε x\in[0,+\infty).

Εν πάση περιπτώσει τα παραπάνω δεν απαντούν στο ερώτημα. Ελπίζω να σε κάλυψα.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Θέμα με σύνολο και inf, sup

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Σάβ Αύγ 17, 2019 12:20 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 7:38 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 6:57 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 3:17 pm
Επειδή ακριβώς γράφεις
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
Κάθε βοήθεια ή διόρθωση θα ήταν καλοδεχούμενη.
παίρνω το θάρρος να πω ότι αυτό το μέρος του συλλογισμού
EmperorIoannes έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 2:33 pm
... βλέπουμε ότι y>0. Άρα το Α είναι κάτω φραγμένο από το 0. Συνεπώς το Α δεν είναι κλειστό, αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\epsilon [0,+\infty ).
Είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός που σε διαγώνισμα σίγουρα θα μηδενιζόταν η άσκηση. Μάλλον κάτι άλλο θέλεις να πεις, οπότε κάνε άλλη μία προσπάθεια. Βέβαια, ήδη έχει γράψει λύση ο Λάμπρος, αλλά προσπάθησε να δεις τι εννοεί και προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι τόσο λάθος το επιχείρημά σου.
Με τιμάει πάρα πολύ που μπήκατε στον κόπο να ασχοληθείτε με την πρόταση μου και ακόμη παραπάνω να την διορθώσετε. Δυστυχώς, παρόλο που αποδέχομαι την απάντηση του προηγούμενου κυρίου δεν μπορώ να βρω το λάθος που μου λέτε. Παρόλο που συμφωνώ ότι ο ισχυρισμός είναι λανθασμένος, δεν μπορώ να εντοπίσω που. Οποιαδήποτε προσπάθεια να με διαφωτίσετε θα την εκτιμούσα.
O λόγος που δεν το σχολίασα είναι ότι δεν μπορώ να καταλάβω τι ακριβώς θες να πεις. Ας τα πιάσουμε ένα ένα.

Θεωρείς ένα υπερσύνολο B του A παίρνοντας x\in (0,+\infty) αντί για x \in N.

Ισχυρίζεσαι (υπαινίσσεσαι καλύτερα) ότι αφού τα στοιχεία του B είναι θετικοί θα είναι και του A.

Αυτό είναι σωστό μέχρι εδώ. Άρα το 0 είναι κάτω φράγμα του A (σωστό και αυτό). Μετά λες ότι αφού

το A έχει κάτω φράγμα το 0 δεν είναι κλειστό. Αυτό είναι λανθασμένο. Το [1,2] έχει κάτω

φράγμα το 0 αλλά είναι κλειστό. Το τελευταίο ''αφού είναι σύνολο που ορίζεται για x\in[0,+\infty)'' δεν

βγάζει νόημα. Για x\in N θεώρησες (σωστά) παραπάνω και όχι για κάθε x\in[0,+\infty).

Εν πάση περιπτώσει τα παραπάνω δεν απαντούν στο ερώτημα. Ελπίζω να σε κάλυψα.
Αντιληφθήκατε πολύ σωστά τον συλλογισμό μου. Εντέλει υπαινήχθην (το είπατε σωστά) ότι εν ελλείψει άνω φράγματος το σύνολο Α θα είναι ανοικτό. Αλλά είδα το λάθος μου και τώρα όλα κομπλε. Ευχαριστώ πολύ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες