Σελίδα 1 από 1

Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 11, 2019 12:10 pm
από Γ.-Σ. Σμυρλής
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω f_n: [a,b]\to\mathbb R, n\in\mathbb N, ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, \lim_{n\to\infty} f_n(x)=0, διὰ κάθε x\in [a,b]. Δείξατε ὅτι διὰ κάθε \varepsilon>0, ὑπάρχει [c,d]\subset[a,b], ὅπου c<d καὶ N\in\mathbb N, ὥστε |f_n(x)|<\varepsilon, διὰ κάθε n\ge N καὶ x\in [c,d].

Re: Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 11, 2019 2:30 pm
από sot arm
Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 12:10 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω f_n: [a,b]\to\mathbb R, n\in\mathbb N, ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, \lim_{n\to\infty} f_n(x)=0, διὰ κάθε x\in [a,b]. Δείξατε ὅτι διὰ κάθε \varepsilon>0, ὑπάρχει [c,d]\subset[a,b], ὅπου c<d καὶ N\in\mathbb N, ὥστε |f_n(x)|<\varepsilon, διὰ κάθε n\ge N καὶ x\in [c,d].
Μια λύση,έστω \varepsilon >0 δοθέν, για κάθε m \in \mathbb{N} ορίζουμε:

\displaystyle{A_{m}=\{t \in [a,b]: \forall n\geq m, |f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\}}

παρατηρούμε ότι κάθε ένα από αυτά είναι κλειστό, καθώς:

\displaystyle{A_{m}=\bigcap_{n=m}^{\infty}\{t\in[a,b]:|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\}} και τα σύνολα: \{t\in[a,b]:|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\} είναι κλειστά, αφού έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης: \displaystyle{[a,b]=\bigcup_{m=1}^{\infty}A_{m}} , πράγματι έστω t \in [a,b] αφού f_{n}(t)\rightarrow 0 \Leftrightarrow \forall n\geq m,  |f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon }{2} \Rightarrow t \in A_{m}

Αφού το [a,b] είναι πλήρης μετρικός χώρος, το θεώρημα του Baire εξασφαλίζει ότι ένα από τα παραπάνω σύνολα, έχει μη κενό εσωτερικό, έστω το A_{N} , τότε υπάρχει διάστημα: [c,d]  \subseteq A_{N}. Δηλαδή, για κάθε n \geq N και για κάθε t \in [c,d], \displaystyle{|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon }{2}< \varepsilon } που είναι το ζητούμενο.

Θυμίζει ένα θεώρημα του Osgood, όπου αν έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων και για κάθε t \in [a,b] , η f_{n}(t) είναι φραγμένη, υπάρχει διάστημα στο οποίο η f_{n} να είναι ομοιόμορφα φραγμένη.