Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να δειχθεί οτι... όπου π και φ οι γνωστές σταθερές.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cdot cos(2\cdot x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi\cdot \phi}{5}}$

Tolaso J Kos · #2

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 07, 2019 7:14 pm
Να δειχθεί οτι... όπου π και φ οι γνωστές σταθερές.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cdot cos(2\cdot x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi\cdot \phi}{5}}$

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos 2 x^2 \, \mathrm{d}x &= \mathfrak{Re} \left ( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot e^{2ix^2} \, \mathrm{d}x \right ) \\ &=\mathfrak{Re}\left ( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2\left ( 1-2i \right )} \, \mathrm{d}x \right ) \\ &= \mathfrak{Re}\left ( \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{1-2i}} \right )\\ &=\mathfrak{Re}\left [\sqrt{\pi} \left ( \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{10}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{10} \right )} \right ] \\ &= \sqrt{\frac{\pi \varphi}{5}} \end{aligned}}$
όπου σαν ρίζα παίρνουμε το principal branch. Φυσικά ισχύει

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha x^2}dx} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\quad ,\quad \alpha \in \mathbb{C} \quad ,\quad \mathfrak{Re}(\alpha) > 0 }$

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 07, 2019 7:14 pm
Να δειχθεί οτι... όπου π και φ οι γνωστές σταθερές.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cdot cos(2\cdot x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi\cdot \phi}{5}}$

Έτσι την έλυσα και εγώ αλλά τώρα γράφω για άλλο λόγο: Για τις κουκκίδες ως σύμβολο του πολλαπλασιαμού.

Επειδή μας διαβάζουν μαθητές, καλό είναι να γράφουμε με συμβατικό συμβολισμό, τον οποίο οι Μαθηματικοί υιοθέτησαν από τον 17ο αιώνα.

Βλέπε το ποστ μου εδώ.

Η σωστή γραφή του παραπάνω (όπως άλλωστε έγραψε ορθά ο Τόλης) είναι $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} cos(2 x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi \phi}{5}}$

mick7 · #4

Ευχαριστώ για την λύση και τις υποδείξεις...

Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση