Σελίδα 1 από 1

Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 02, 2019 11:46 pm
από Tolaso J Kos
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann και \mathrm{Li}_s ο πολυλογάριθμος τάξης s. Για s \geq 2 να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 05, 2019 9:31 pm
από Tolaso J Kos
Επαναφορά.!

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 31, 2019 10:11 am
από Tolaso J Kos
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 11:46 pm
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann και \mathrm{Li}_s ο πολυλογάριθμος τάξης s. Για s \geq 2 να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}
Διακρίνουμε περιπτώσεις:

  • Για s>2 έχουμε:

    \displaystyle{ \begin{aligned}  
\ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x) \\  
&=\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \cdot \left ( 1-x \right ) \ln (1-x) \\  
&= \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \right ) \cdot \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} (1-x) \ln (1-x) \right ) \\ &=\mathrm{Li}'_s(1) \cdot 0 \\ &=0  
\end{aligned}}
  • Για s=2 έχουμε ότι η διλογάριθμος ικανοποιεί τη σχέση

    \displaystyle{\mathrm{Li}_2(x) + \mathrm{Li}_2\left ( 1-x \right ) = \zeta(2) - \ln x \ln (1-x) \quad , \quad x \in (0, 1)}
    οπότε:

    \displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(2) - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\  
&=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \frac{\pi^2}{6} - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\ &=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \mathrm{Li}_2(1-x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln (1-x) \\  
&= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( \mathrm{Li}_2(x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln x \\ 
&=0  
\end{aligned}}
    διότι:

    \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \mathrm{Li}_2(x) \ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\mathrm{Li}_2(x)}{x} \cdot x \ln x = 1 \cdot 0 = 0}

Αυτά Tolaso!