Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann και $\mathrm{Li}_s$ ο πολυλογάριθμος τάξης

. Για $s \geq 2$ να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.!

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 11:46 pm
Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann και $\mathrm{Li}_s$ ο πολυλογάριθμος τάξης . Για $s \geq 2$ να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}$

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Για έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x) \\ &=\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \cdot \left ( 1-x \right ) \ln (1-x) \\ &= \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \right ) \cdot \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} (1-x) \ln (1-x) \right ) \\ &=\mathrm{Li}'_s(1) \cdot 0 \\ &=0 \end{aligned}}$
Για έχουμε ότι η διλογάριθμος ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{\mathrm{Li}_2(x) + \mathrm{Li}_2\left ( 1-x \right ) = \zeta(2) - \ln x \ln (1-x) \quad , \quad x \in (0, 1)}$
οπότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(2) - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\ &=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \frac{\pi^2}{6} - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\ &=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \mathrm{Li}_2(1-x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln (1-x) \\ &= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( \mathrm{Li}_2(x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln x \\ &=0 \end{aligned}}$
διότι:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \mathrm{Li}_2(x) \ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\mathrm{Li}_2(x)}{x} \cdot x \ln x = 1 \cdot 0 = 0}$

Αυτά Tolaso!

Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Μέλη σε σύνδεση