Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 02, 2019 11:46 pm

Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann και \mathrm{Li}_s ο πολυλογάριθμος τάξης s. Για s \geq 2 να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Αύγ 05, 2019 9:31 pm

Επαναφορά.!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο πολυλογαρίθμου και ζήτα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 31, 2019 10:11 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 11:46 pm
Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann και \mathrm{Li}_s ο πολυλογάριθμος τάξης s. Για s \geq 2 να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x)}
Διακρίνουμε περιπτώσεις:

  • Για s>2 έχουμε:

    \displaystyle{ \begin{aligned}  
\ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(s) - \mathrm{Li}_s(x) \right ) \ln (1-x) \\  
&=\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \cdot \left ( 1-x \right ) \ln (1-x) \\  
&= \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\zeta(s)- \mathrm{Li}_s(x)}{1-x} \right ) \cdot \left ( \lim_{x\rightarrow 1^-} (1-x) \ln (1-x) \right ) \\ &=\mathrm{Li}'_s(1) \cdot 0 \\ &=0  
\end{aligned}}
  • Για s=2 έχουμε ότι η διλογάριθμος ικανοποιεί τη σχέση

    \displaystyle{\mathrm{Li}_2(x) + \mathrm{Li}_2\left ( 1-x \right ) = \zeta(2) - \ln x \ln (1-x) \quad , \quad x \in (0, 1)}
    οπότε:

    \displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( \zeta(2) - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\  
&=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \frac{\pi^2}{6} - \mathrm{Li}_2(x) \right ) \ln (1-x) \\ &=\lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( \mathrm{Li}_2(1-x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln (1-x) \\  
&= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( \mathrm{Li}_2(x) + \ln x \ln (1-x) \right ) \ln x \\ 
&=0  
\end{aligned}}
    διότι:

    \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \mathrm{Li}_2(x) \ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\mathrm{Li}_2(x)}{x} \cdot x \ln x = 1 \cdot 0 = 0}

Αυτά Tolaso!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες