Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή με παράγωγο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 02, 2019 5:39 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

για τις οποίες ισχύει

f(x)=f(\frac{x}{3})+\frac{2}{3}xf'(x)

για κάθε x\in \mathbb{R}

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 22, 2019 5:57 pm
από silouan
Επαναφορά.

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm
από Demetres
Έχουμε:

\displaystyle  \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}

Παίρνοντας όρια έχουμε:

\displaystyle  \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})

Θα δείξουμε ότι η f'(x) είναι συνεχής σε κάθε x \in \mathbb{R}. Προφανώς είναι συνεχής στο 0 αφού τότε έχουμε \displaystyle  \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0). Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο x \neq 0. Τότε υπάρχει \varepsilon>0 ώστε για κάθε \delta > 0 υπάρχει y με |x-y| < \delta και |f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon. Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και y' με |x-y'| < \delta και |f'(x) - f'(y')| = \varepsilon.

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία (x_n) ώστε (x_n) \to (x) και f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon. Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon. Τότε όμως (για h = x_n - x) θα είχαμε ότι το \displaystyle  f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x} συγκλίνει όταν n \to \infty, άτοπο.

Έστω x > 0 και έστω A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}. Το A είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω s = \inf(A). Θα δείξουμε ότι s=0.

Έχουμε \displaystyle  \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής f'(s) = f'(t) για κάποιο t \in (\tfrac{s}{3},s). Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και t \in A.

Άρα f'(x) = f'(0) για κάθε x > 0 και ομοίως και για κάθε x < 0. Άρα η f'(x) είναι σταθερή και η f(x) γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 22, 2019 8:51 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Demetres έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm
Έχουμε:

\displaystyle  \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}

Παίρνοντας όρια έχουμε:

\displaystyle  \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})

Θα δείξουμε ότι η f'(x) είναι συνεχής σε κάθε x \in \mathbb{R}. Προφανώς είναι συνεχής στο 0 αφού τότε έχουμε \displaystyle  \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0). Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο x \neq 0. Τότε υπάρχει \varepsilon>0 ώστε για κάθε \delta > 0 υπάρχει y με |x-y| < \delta και |f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon. Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και y' με |x-y'| < \delta και |f'(x) - f'(y')| = \varepsilon.

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία (x_n) ώστε (x_n) \to (x) και f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon. Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon. Τότε όμως (για h = x_n - x) θα είχαμε ότι το \displaystyle  f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x} συγκλίνει όταν n \to \infty, άτοπο.

Έστω x > 0 και έστω A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}. Το A είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω s = \inf(A). Θα δείξουμε ότι s=0.

Έχουμε \displaystyle  \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής f'(s) = f'(t) για κάποιο t \in (\tfrac{s}{3},s). Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και t \in A.

Άρα f'(x) = f'(0) για κάθε x > 0 και ομοίως και για κάθε x < 0. Άρα η f'(x) είναι σταθερή και η f(x) γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Εχουμε s\in A γιατί το A κλειστό.
f' συνεχής)

2) Η συνέχεια της f' προκύπτει πολύ εύκολα ως εξής :

Για x\neq 0
είναι
\displaystyle f'(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{3})}{\frac{2}{3}x}(1)

συνεχής σαν πηλίκο συνεχών.

Για x=0 κάνουμε το εξής πιο απλό.

Στην (1) το δεξιό μέλος για x\rightarrow 0

έχει όριο το f'(0).

Αυτό προκύπτει προσθαφερόντας το f(0) στον αριθμητή και χρησιμοποιώντας ότι το
f'(0) υπάρχει.

Αρα για x\rightarrow 0 το όριο του αριστερού μέλους της (1)

υπάρχει και είναι f'(0) .

Αρα η f' είναι συνεχής στο 0

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 23, 2019 12:24 am
από Demetres
Ναι Σταύρο, έχεις δίκιο για το 1. Αυτός είναι άλλωστε ο λόγος που έδειξα τη συνέχεια της f'. Για να μπορώ να πω ότι το \inf(A) ανήκει στο A.