Όριο ολοκληρώματος
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Όριο ολοκληρώματος
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο ολοκληρώματος
Θεωρούμε την και το ολοκλήρωμα γράφεται .
Με την αλλαγή μεταβλητής πάμε στο .
Τώρα σπάμε το σε διαστήματα μήκους (στο τέλος περισσεύει ένα διάστημα μήκους )
To τελευταίο ολοκλήρωμα γράφεται τώρα
Ξεφορτωνόμαστε τώρα το απόλυτο ως εξής:
Με έχουμε
Επίσης, επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα, έχουμε
Συνεπώς .
Δείχνουμε τέλος ότι
Γι'αυτό θα δείξουμε ότι ομοιόμορφα στο
Πράγματι, για κάθε , επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα παίρνουμε
και
Άρα
Αθροίζοντας τις τελευταίες για παίρνουμε
και παίρνοντας έχουμε το ζητούμενο.
H απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Πέμ Ιούλ 11, 2019 10:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο ολοκληρώματος
Θα δείξω κάτι γενικότερο
Αν
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε
Από σειρές Fourier έχουμε ότι για
είναι
Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι
(1)
Χρησιμοποιώντας ότι
και το Riemann-Lebesgue
παίρνοντας στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Re: Όριο ολοκληρώματος
Από την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω τότε:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pmΘα δείξω κάτι γενικότερο
Αν
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε
Από σειρές Fourier έχουμε ότι για
είναι
Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι
(1)
Χρησιμοποιώντας ότι
και το Riemann-Lebesgue
παίρνοντας στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Όπου ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο ολοκληρώματος
Μπράβο Σωτήρη.sot arm έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 11, 2019 6:23 pmΑπό την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω τότε:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pmΘα δείξω κάτι γενικότερο
Αν
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε
Από σειρές Fourier έχουμε ότι για
είναι
Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι
(1)
Χρησιμοποιώντας ότι
και το Riemann-Lebesgue
παίρνοντας στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Όπου ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.
Αν και γνώριζα την σχέση δεν πήγε το μυαλό μου σε αυτήν.
Αν την προσαρμόσουμε στο το αποτέλεσμα γίνεται τετριμμένο.
Αποδίδεται στον Fejer και ισχύει ακόμα αν
με
Η απόδειξη της είναι σχετικά εύκολη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες