Όριο ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3865
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όριο ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιούλ 11, 2019 12:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}
Η απάντηση είναι \dfrac{1}{2}. Αν και η απόδειξη που έχω κάνει είναι σχεδόν στοιχειώδης (μόνο ομοιόμορφη

σύγκλιση χρησιμοποιώ) θεωρώ ότι δεν είναι για αυτό τον φάκελο αλλά για τον πανεπιστημιακό φάκελο Ανάλυσης. H λύση

αργότερα.

Θεωρούμε την f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} και το ολοκλήρωμα γράφεται \displaystyle \int_0^1 \ f(x)|\sin nx|\, \mathrm{d}x.

Με την αλλαγή μεταβλητής u\rightarrow nx πάμε στο \displaystyle \frac{1}{n}\int_0^n \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x.

Τώρα σπάμε το [0,n] σε διαστήματα μήκους \pi (στο τέλος περισσεύει ένα διάστημα μήκους n-\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi <\pi. )

To τελευταίο ολοκλήρωμα γράφεται τώρα

\displaystyle \frac{1}{n}\left (\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]}\int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x+\int_{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi } ^{n } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x \right )


\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]}\int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x+ \frac{1}{n}\int_{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi } ^{n } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x \right )=A+B.

Ξεφορτωνόμαστε τώρα το απόλυτο ως εξής:

Με u\rightarrow x-k\pi έχουμε

\displaystyle \int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi}f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\left |\sin( x+k\pi) \right |\, \mathrm{d}x=  \int_{0}^{\pi}f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\left \sin x \, \mathrm{d}x.


Επίσης, επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, έχουμε


\displaystyle nB =\int_{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]\pi}^{n} f\left ( \frac{x}{n} \right ) \left | \sin x \right |\, \mathrm{d}x <\int_{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]\pi}^{n} f(0) \left | \sin x \right |\, \mathrm{d}x<\int_{0}^{\pi}  \sin x \, \mathrm{d}x=2.


Συνεπώς \displaystyle 0<B<\frac{2}{n}\Rightarrow B\rightarrow 0.


Δείχνουμε τέλος ότι \displaystyle A=\int_{0} ^{\pi }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]} \ f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\sin x\, \mathrm{d}x\rightarrow \int_{0} ^{\pi }\left ( \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f(x)\, \mathrm{d}x \right )\sin x\, \mathrm{d}x=\frac{1}{2}.


Γι'αυτό θα δείξουμε ότι \displaystyle  \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]} \ f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\rightarrow  \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f(x)\, \mathrm{d}x ομοιόμορφα στο [0,\pi].


Πράγματι, για κάθε x \in[0,\pi], επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα παίρνουμε


\displaystyle f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ) \leq f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )\Rightarrow \frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ) \leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )
και


\displaystyle \frac{f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right )}{n} \leq \frac{1}{\pi}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x\leq \frac{f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )}{n}.

Άρα

\displaystyle \frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{\pi}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{1}{n}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ).


Αθροίζοντας τις τελευταίες για k=0,1,...,\left [ \frac{n}{\pi} \right ] παίρνουμε


\displaystyle \frac{1}{n}f\left ( \frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( 0\right )\leq \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( 0 \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n} \right )

και παίρνοντας n\rightarrow \infty έχουμε το ζητούμενο.

H απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Πέμ Ιούλ 11, 2019 10:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2385
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}
Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx



Από σειρές Fourier έχουμε ότι για x\in \mathbb{R}
είναι
\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx(1)

Χρησιμοποιώντας ότι

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας n\rightarrow \infty στην (1) έχουμε το ζητούμενο.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο ολοκληρώματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Ιούλ 11, 2019 6:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}
Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx



Από σειρές Fourier έχουμε ότι για x\in \mathbb{R}
είναι
\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx(1)

Χρησιμοποιώντας ότι

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας n\rightarrow \infty στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Από την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω f \in L_{1}(\mathbb{T}), g \in L_{\infty} (\mathbb{T}) τότε:
\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}} f(x)g(nx)dx=\widehat{f} (0)\widehat{g}(0)

Όπου \mathbb{T} ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2385
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο ολοκληρώματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 11, 2019 11:07 pm

sot arm έγραψε:
Πέμ Ιούλ 11, 2019 6:23 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}
Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx



Από σειρές Fourier έχουμε ότι για x\in \mathbb{R}
είναι
\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx(1)

Χρησιμοποιώντας ότι

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας n\rightarrow \infty στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Από την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω f \in L_{1}(\mathbb{T}), g \in L_{\infty} (\mathbb{T}) τότε:
\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}} f(x)g(nx)dx=\widehat{f} (0)\widehat{g}(0)

Όπου \mathbb{T} ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.
Μπράβο Σωτήρη.
Αν και γνώριζα την σχέση δεν πήγε το μυαλό μου σε αυτήν.
Αν την προσαρμόσουμε στο [0,1] το αποτέλεσμα γίνεται τετριμμένο.

Αποδίδεται στον Fejer και ισχύει ακόμα αν

f \in L_{p}(\mathbb{T}), g \in L_{q} (\mathbb{T})

με \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,p,q>0

Η απόδειξη της είναι σχετικά εύκολη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες