Είναι σταθερή
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Είναι σταθερή
Με αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64775
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Εστω αριθμήσιμο σύνολο.
Αν για κάθε
είναι
να δειχθεί ότι η είναι σταθερή.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64775
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Εστω αριθμήσιμο σύνολο.
Αν για κάθε
είναι
να δειχθεί ότι η είναι σταθερή.
Λέξεις Κλειδιά:
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Είναι σταθερή
Ἔστω τυχὸν . Θὰ δείξομε ὅτι
καὶ κατὰ συνέπειαν σταθερά.
Ἀπαριθμοῦμε κατ᾽ ἀρχὰς τὸ ὡς καὶ ἐπιλέγομε διαστήματα
ὥστε
Αὐτὸ εἶναι ἐφικτὸ χάριν τῆς συνεχείας τῆς στὰ .
Ἀκολούθως, διὰ κάθε , ὥστε , ὑπάρχει , ὥστε
καὶ συνεπῶς
Τὰ ἀνοικτὰ διαστήματα , , , , ἀποτελοῦν ἀνοικτὸ κάλυμμα τοῦ συμπαγοῦς . Ἄρα ὑπάρχει πεπερασμένο ὑποκάλυμμα: . Διατάσσομε τὰ , (), ὥστε:
Στὰ κλειστὰ διαστήματα , τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀνωτέρω μὲ ἄκρα διαδοχικὰ σημεῖα καὶ , ἰσχύουν τὰ ἑξῆς:
Τὰ εἴτε εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἴτε ὑποσύνολα διαστημάτων . Συνεπῶς τόσο ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων , ὅσο καὶ ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἶναι λιγότερη ἀπὸ . Ἄρα
καὶ κατὰ συνέπειαν σταθερά.
Ἀπαριθμοῦμε κατ᾽ ἀρχὰς τὸ ὡς καὶ ἐπιλέγομε διαστήματα
ὥστε
Αὐτὸ εἶναι ἐφικτὸ χάριν τῆς συνεχείας τῆς στὰ .
Ἀκολούθως, διὰ κάθε , ὥστε , ὑπάρχει , ὥστε
καὶ συνεπῶς
Τὰ ἀνοικτὰ διαστήματα , , , , ἀποτελοῦν ἀνοικτὸ κάλυμμα τοῦ συμπαγοῦς . Ἄρα ὑπάρχει πεπερασμένο ὑποκάλυμμα: . Διατάσσομε τὰ , (), ὥστε:
Στὰ κλειστὰ διαστήματα , τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀνωτέρω μὲ ἄκρα διαδοχικὰ σημεῖα καὶ , ἰσχύουν τὰ ἑξῆς:
Τὰ εἴτε εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἴτε ὑποσύνολα διαστημάτων . Συνεπῶς τόσο ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων , ὅσο καὶ ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἶναι λιγότερη ἀπὸ . Ἄρα
τελευταία επεξεργασία από Γ.-Σ. Σμυρλής σε Δευ Ιούλ 08, 2019 6:34 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Είναι σταθερή
Αλλιώς:
Εστω μη σταθερή, οπότε υπάρχουν με . Θα καταλήξουμε σε άτοπο.
Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει μεταξύ τους με . Επίσης επειδή αριθμήσιμο ενώ μη αριθμήσιμο, υπάρχει , και άρα .
Από Darboux η παίρνει στο όλες τις τιμές (γνήσια) μεταξύ και . Ειδικά οι τιμές αυτές είναι μη-μηδενικές. Με άλλα λόγια κάθε αριθμός μεταξύ του και του είναι της μορφής , από όπου συμπεραίνουμε ότι (διότι ). Αυτό όμως είναι άτοπο διότι αριθμήσιμο ενώ οι τιμές μεταξύ και είναι μη αριθμήσιμες το πλήθος. Και λοιπά.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΡΓΟΤΕΡΑ:
Η απόδειξη προϋποθέτει ότι η είναι παραγωγίσιμη και στο , πράγμα που δεν το δίνει η άσκηση. Άρα είναι ελλειπής. Έδειξα λοιπόν το ζητούμενο μόνο στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι παντού παραγωγίσιμη.
Ευχαριστώ τον θεματοθέτη, τον αγαπητό Σταύρο, για την επισήμανση.
Εστω μη σταθερή, οπότε υπάρχουν με . Θα καταλήξουμε σε άτοπο.
Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει μεταξύ τους με . Επίσης επειδή αριθμήσιμο ενώ μη αριθμήσιμο, υπάρχει , και άρα .
Από Darboux η παίρνει στο όλες τις τιμές (γνήσια) μεταξύ και . Ειδικά οι τιμές αυτές είναι μη-μηδενικές. Με άλλα λόγια κάθε αριθμός μεταξύ του και του είναι της μορφής , από όπου συμπεραίνουμε ότι (διότι ). Αυτό όμως είναι άτοπο διότι αριθμήσιμο ενώ οι τιμές μεταξύ και είναι μη αριθμήσιμες το πλήθος. Και λοιπά.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΡΓΟΤΕΡΑ:
Η απόδειξη προϋποθέτει ότι η είναι παραγωγίσιμη και στο , πράγμα που δεν το δίνει η άσκηση. Άρα είναι ελλειπής. Έδειξα λοιπόν το ζητούμενο μόνο στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι παντού παραγωγίσιμη.
Ευχαριστώ τον θεματοθέτη, τον αγαπητό Σταύρο, για την επισήμανση.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Είναι σταθερή
Γεια σου Γιώργο.Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 06, 2019 11:08 pm
Τὰ ἀνοικτὰ διαστήματα , , , , ἀποτελοῦν ἀνοικτὸ κάλυμμα τοῦ συμπαγοῦς . Ἄρα ὑπάρχει πεπερασμένο ὑποκάλυμμα: . Διατάσσομε τὰ , (), ὥστε:
Στὰ κλειστὰ διαστήματα , τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀνωτέρω μὲ ἄκρα διαδοχικὰ σημεῖα καὶ , ἰσχύουν τὰ ἑξῆς:
Τὰ εἴτε εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἴτε ὑποσύνολα διαστημάτων . Συνεπῶς τόσο ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων , ὅσο καὶ ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἶναι λιγότερη ἀπὸ . Ἄρα
Στο κομμάτι που παραθέτω δύο τινά συμβαίνουν.
Η εγώ δεν καταλαβαίνω την σκέψη σου η υπάρχουν τυπογραφικά.
Το ξαναγράφω όπως εγώ νομίζω ότι είναι.
Τὰ ἀνοικτὰ διαστήματα , , , , ἀποτελοῦν ἀνοικτὸ κάλυμμα τοῦ συμπαγοῦς . Ἄρα ὑπάρχει πεπερασμένο ὑποκάλυμμα: +. Διατάσσομε τὰ , (), ὥστε:
+
Στὰ κλειστὰ διαστήματα , τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀνωτέρω μὲ ἄκρα διαδοχικὰ σημεῖα καὶ , +ἰσχύουν τὰ ἑξῆς:
Τὰ εἴτε εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἴτε ὑποσύνολα διαστημάτων . Συνεπῶς τόσο ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων , ὅσο καὶ ἡ συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ εἶναι ὑποσύνολα διαστημάτων εἶναι λιγότερη ἀπὸ .
Αυτό πρέπει να διατυπωθεί διαφορετικά.Π.χ τα κλειστά είναι υπερσύνολα των ανοικτών.
Επίσης η συνολικὴ συνεισφορὰ στὸ ἀνωτέρω τῶν ποὺ προκύπτουν από διαστήματα εἶναι λιγότερη ἀπὸ +.
Ἄρα
+
Σε αυτά που έχω αλλάξει έχω βάλει +
Για τα διαστήματα χρησιμοποιώ το εξής.
Αν πεπερασμένου πλήθους ανοικτά διαστήματα καλύπτουν το τότε μπορούμε να πάρουμε κάποια από αυτά ώστε πάλι να το καλύπτουν και επιπλέον κάθε σημείο του βρίσκεται το πολύ σε δύο.
Η απόδειξη που γνωρίζω είναι σε διαφορετικό πνεύμα .
Κάποια στιγμή θα την γράψω γιατί περιέχει μια ενδιαφέρουσα τεχνική.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Είναι σταθερή
Θα δείξω το γενικότερο
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Εστω αριθμήσιμο σύνολο.
Αν για κάθε
είναι
να δειχθεί ότι η είναι αύξουσα.
Σαν πόρισμα του παραπάνω θα δειχθεί το ζητούμενο.
Εστω
Εστω
Θεωρούμε το σύνολο
Λόγω του παράγοντα
είναι
Επίσης
Αρα υπάρχει το
Θα δείξουμε ότι
Εστω
Είναι
Παίρνοντας
έχουμε
(1)
Αρα .
Θα δείξουμε τώρα ότι
Εστω .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
1)
είναι
Από την συνέχεια υπάρχει με
Μαζί με την (1) προκύπτει 'οτι
Αρα και ΑΤΟΠΟ
2)
Επειδή
υπάρχει με
δηλαδή
Μαζί με την (1) προκύπτει 'οτι
Αρα και ΑΤΟΠΟ.
Αρα
Δηλαδή
Η τελευταία ισχύει για κάθε
Αρα .
Είναι φανερό ότι αν πάρουμε
και κάνουμε τα ίδια στο προκύπτει ότι
Τελικά η είναι αύξουσα.
Η απόδειξη του αρχικού προκύπτει παρατηρώντας ότι για κάθε
είναι
και
Αρα η και η είναι αύξουσες που δίνει ότι η είναι σταθερή.
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Εστω αριθμήσιμο σύνολο.
Αν για κάθε
είναι
να δειχθεί ότι η είναι αύξουσα.
Σαν πόρισμα του παραπάνω θα δειχθεί το ζητούμενο.
Εστω
Εστω
Θεωρούμε το σύνολο
Λόγω του παράγοντα
είναι
Επίσης
Αρα υπάρχει το
Θα δείξουμε ότι
Εστω
Είναι
Παίρνοντας
έχουμε
(1)
Αρα .
Θα δείξουμε τώρα ότι
Εστω .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
1)
είναι
Από την συνέχεια υπάρχει με
Μαζί με την (1) προκύπτει 'οτι
Αρα και ΑΤΟΠΟ
2)
Επειδή
υπάρχει με
δηλαδή
Μαζί με την (1) προκύπτει 'οτι
Αρα και ΑΤΟΠΟ.
Αρα
Δηλαδή
Η τελευταία ισχύει για κάθε
Αρα .
Είναι φανερό ότι αν πάρουμε
και κάνουμε τα ίδια στο προκύπτει ότι
Τελικά η είναι αύξουσα.
Η απόδειξη του αρχικού προκύπτει παρατηρώντας ότι για κάθε
είναι
και
Αρα η και η είναι αύξουσες που δίνει ότι η είναι σταθερή.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Είναι σταθερή
Παραθέτω ἄλλη ἀπόδειξη, τροποποιημένη, διορθωμένη καὶ ἁπλουστευμένη ἐκδοχὴ τῆς προηγουμένης , ἡ ὁποία ὅμως ἀποτελεῖ ἀπόδειξη τοῦ κάτωθι γενικότερου προβλήματος:
Ἄν , διὰ κάθε , ὅπου ἀριθμήσιμο σύνολο, τότε αὔξουσα.
[Δὲν διαγράφω τὴν προηγούμενή μου ἀπόδειξη, καθὼς αὐτὴ ἔχει ἤδη σχολιασθεῖ ἀπὸ τὸν Σταῦρο.]
Ἔστω λοιπὸν , μὲ . Ἀρκεῖ νὰ δείξομε ὅτι
διὰ κάθε .
Ἀπαριθμοῦμε τὸ ὡς καὶ ἐπιλέγομε , ὥστε
διὰ κάθε . Τέτοια 's ὑπάρχουν χάριν τῆς συνεχείας τῆς . Θέτομε . Ἰσχύει δὲ ὅτι
Ἔστω . Τότε ὑπάρχει , ὥστε
καὶ ἄρα, ὁποτεδήποτε , καὶ , ἔχομε ὅτι
καὶ καθὼς , τελικῶς λαμβάνομε ὅτι
Θὰ χρησιμοποιήσομε τὸ ἀκόλουθο ἀποτέλεσμα (βλέπε ἀπόδειξη στὸ [1]):
Λῆμμα τοῦ Cousin. Ἔστω ἕνα πλῆρες κάλυμμα τοῦ , δηλαδὴ μία συλλογὴ κλειστῶν ὑποδιαστημάτων τοῦ μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε , ὑπάρχει , ὥστε ἡ νὰ περιλαμβάνει ὅλα τὰ κλειστὰ ὑποδιαστήματα τοῦ τὰ ὁποῖα περιέχουν τὸ καὶ ἔχουν μῆκος μικρότερο τοῦ . Τότε ὑπάρχει διαμέριση τοῦ , ὅπου καὶ διὰ κάθε .
Ὁρίζομε ὡς τὴν συλλογὴ τῶν κλειστὼν ὑποδιαστημάτων τοῦ , ὥστε εἴτε καὶ , γιὰ κάποιο εἴτε καὶ , γιὰ κάποιο . Τὸ Λῆμμα τοῦ Cousin παρέχει τὴν ὕπαρξη σημείων , ὥστε τὰ κλειστὰ διαστήματα
νὰ ἀνήκουν .
Σημειωτέον ὅτι, ἀπὸ τὴν κατασκευὴ τῆς , ἕκαστον τῶν ἀποτελεῖ ὑποδιάστημα κάποιου διαστήματος ἢ κάποιου διαστήματος καὶ βεβαίως δύναται νὰ ἀποτελεῖ ὑποδιάστημα περισσοτέρων τοῦ ἑνός τέτοιων διαστημάτων. Διὰ κάθε τέτοιο ἐπιλέγομε ἀκριβῶς ἕνα τέτοιο διάστημα. Συνεπῶς σὲ κάθε ἔχει ἀντιστοιχισθεῖ εἴτε μοναδικὸ , ὥστε , τὸ ὁποῖο συμβολίζομε ὡς , εἴτε μοναδικὸ , ὥστε . Ἡ ἀπεικόνιση αὐτὴ δὲν εἶναι ἀπαραιτήτως 1-1, καθὼς ἂν τὸ ἀποτελεῖ τὸ κοινὸ ἄκρο τῶν καὶ , τότε ἐνδέχεται νὰ ἰσχύει . Δήλαδὴ κάποια ἐκ τῶν διαστημάτων ἐνδέχεται νὰ ἔχουν ληφθεῖ ἔως καὶ δύο φορές.
Ἐκφράζομε τὸ σύνολο ὡς τὴν ἕνωση τῶν ξένων μεταξὺ τους συνόλων. Τοῦ , τὸ ὁποῖο ἀποτελεῖται ἀπὸ τὰ γιὰ τὰ ὁποῖα ἔχει ἐπιλεγεῖ , ὥστε καὶ τοῦ . Ἄν , τότε ἔχει ἐπιλεγεῖ κάποιο , ὥστε .
Ἄν καὶ , τότε ἡ παρέχει ὅτι
ἐνῶ ἄν , τότε ἡ παρέχει ὅτι
Συνολικὰ ἔχομε
Ἡ τελευταία ἀνισότητα ὀφείλεται στὸ ὅτι γιὰ τὸ πρῶτο ἄθροισμα ἰσχύει
καθὼς στὸ ἄθροισμα στὰ ἀριστερά, ἡ δύναμη δύναται νὰ ἐμφανίζεται μηδέν, μία ἤ δύο (τὸ πολὺ) φορὲς ἂν τὸ ἀποτελεῖ ἄκρο δύο ἐκ τῶν 's.
Παρατήρηση. Ἂν ἡ ὑπόθεση " ἀριθμήσιμο σύνολο" ἀντικατασταθεῖ ἀπὸ τὴν ὑπόθεση " σύνολο μηδενικοῦ μέτρου", τότε τὸ συμπέρασμα παύει νὰ ἰσχύει. Ἀντιπαράδειγμα: ἡ συνάρτηση Cantor. (Βλέπε [2]).
[1]: https://books.google.com.cy/books?id=Wl ... of&f=false
[2]: https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function
Ἄν , διὰ κάθε , ὅπου ἀριθμήσιμο σύνολο, τότε αὔξουσα.
[Δὲν διαγράφω τὴν προηγούμενή μου ἀπόδειξη, καθὼς αὐτὴ ἔχει ἤδη σχολιασθεῖ ἀπὸ τὸν Σταῦρο.]
Ἔστω λοιπὸν , μὲ . Ἀρκεῖ νὰ δείξομε ὅτι
διὰ κάθε .
Ἀπαριθμοῦμε τὸ ὡς καὶ ἐπιλέγομε , ὥστε
διὰ κάθε . Τέτοια 's ὑπάρχουν χάριν τῆς συνεχείας τῆς . Θέτομε . Ἰσχύει δὲ ὅτι
Ἔστω . Τότε ὑπάρχει , ὥστε
καὶ ἄρα, ὁποτεδήποτε , καὶ , ἔχομε ὅτι
καὶ καθὼς , τελικῶς λαμβάνομε ὅτι
Θὰ χρησιμοποιήσομε τὸ ἀκόλουθο ἀποτέλεσμα (βλέπε ἀπόδειξη στὸ [1]):
Λῆμμα τοῦ Cousin. Ἔστω ἕνα πλῆρες κάλυμμα τοῦ , δηλαδὴ μία συλλογὴ κλειστῶν ὑποδιαστημάτων τοῦ μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε , ὑπάρχει , ὥστε ἡ νὰ περιλαμβάνει ὅλα τὰ κλειστὰ ὑποδιαστήματα τοῦ τὰ ὁποῖα περιέχουν τὸ καὶ ἔχουν μῆκος μικρότερο τοῦ . Τότε ὑπάρχει διαμέριση τοῦ , ὅπου καὶ διὰ κάθε .
Ὁρίζομε ὡς τὴν συλλογὴ τῶν κλειστὼν ὑποδιαστημάτων τοῦ , ὥστε εἴτε καὶ , γιὰ κάποιο εἴτε καὶ , γιὰ κάποιο . Τὸ Λῆμμα τοῦ Cousin παρέχει τὴν ὕπαρξη σημείων , ὥστε τὰ κλειστὰ διαστήματα
νὰ ἀνήκουν .
Σημειωτέον ὅτι, ἀπὸ τὴν κατασκευὴ τῆς , ἕκαστον τῶν ἀποτελεῖ ὑποδιάστημα κάποιου διαστήματος ἢ κάποιου διαστήματος καὶ βεβαίως δύναται νὰ ἀποτελεῖ ὑποδιάστημα περισσοτέρων τοῦ ἑνός τέτοιων διαστημάτων. Διὰ κάθε τέτοιο ἐπιλέγομε ἀκριβῶς ἕνα τέτοιο διάστημα. Συνεπῶς σὲ κάθε ἔχει ἀντιστοιχισθεῖ εἴτε μοναδικὸ , ὥστε , τὸ ὁποῖο συμβολίζομε ὡς , εἴτε μοναδικὸ , ὥστε . Ἡ ἀπεικόνιση αὐτὴ δὲν εἶναι ἀπαραιτήτως 1-1, καθὼς ἂν τὸ ἀποτελεῖ τὸ κοινὸ ἄκρο τῶν καὶ , τότε ἐνδέχεται νὰ ἰσχύει . Δήλαδὴ κάποια ἐκ τῶν διαστημάτων ἐνδέχεται νὰ ἔχουν ληφθεῖ ἔως καὶ δύο φορές.
Ἐκφράζομε τὸ σύνολο ὡς τὴν ἕνωση τῶν ξένων μεταξὺ τους συνόλων. Τοῦ , τὸ ὁποῖο ἀποτελεῖται ἀπὸ τὰ γιὰ τὰ ὁποῖα ἔχει ἐπιλεγεῖ , ὥστε καὶ τοῦ . Ἄν , τότε ἔχει ἐπιλεγεῖ κάποιο , ὥστε .
Ἄν καὶ , τότε ἡ παρέχει ὅτι
ἐνῶ ἄν , τότε ἡ παρέχει ὅτι
Συνολικὰ ἔχομε
Ἡ τελευταία ἀνισότητα ὀφείλεται στὸ ὅτι γιὰ τὸ πρῶτο ἄθροισμα ἰσχύει
καθὼς στὸ ἄθροισμα στὰ ἀριστερά, ἡ δύναμη δύναται νὰ ἐμφανίζεται μηδέν, μία ἤ δύο (τὸ πολὺ) φορὲς ἂν τὸ ἀποτελεῖ ἄκρο δύο ἐκ τῶν 's.
Παρατήρηση. Ἂν ἡ ὑπόθεση " ἀριθμήσιμο σύνολο" ἀντικατασταθεῖ ἀπὸ τὴν ὑπόθεση " σύνολο μηδενικοῦ μέτρου", τότε τὸ συμπέρασμα παύει νὰ ἰσχύει. Ἀντιπαράδειγμα: ἡ συνάρτηση Cantor. (Βλέπε [2]).
[1]: https://books.google.com.cy/books?id=Wl ... of&f=false
[2]: https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες