Ανισότητες Cauchy

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Ανισότητες Cauchy

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Πέμ Ιουν 20, 2019 2:52 am

\large f:D(1,\frac{3}{2})\rightarrow \mathbb{C} ολόμορφη και στο σύνορο!!!

Έστω \large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}z^{n} το ανάπτυγμα Taylor της \large f γύρω από το \large 0

Δείξτε ότι \large \left | a_{n} \right |<\frac{M}{\frac{1}{2^n}}, όπου \large M θετική σταθερά!!!

Οποιαδήποτε υπόδειξη θα βοηθούσε πολύ!!!



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητες Cauchy

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 20, 2019 8:40 am

Soniram89 έγραψε:
Πέμ Ιουν 20, 2019 2:52 am
\large f:D(1,\frac{3}{2})\rightarrow \mathbb{C} ολόμορφη και στο σύνορο!!!

Έστω \large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}z^{n} το ανάπτυγμα Taylor της \large f γύρω από το \large 0

Δείξτε ότι \large \left | a_{n} \right |<\frac{M}{\frac{1}{2^n}}, όπου \large M θετική σταθερά!!!

Οποιαδήποτε υπόδειξη θα βοηθούσε πολύ!!!
Πρόκειται για την ανισότητα Cauchy. Με άλλα λόγια (υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης) αν
M φράγμα της f τότε από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy για τους συντελεστές του   f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}(z-z_0)^{n} έχουμε

\displaystyle{|a_n|= \left | \dfrac {f^{(n)}}{n!} \right  |= \left |\dfrac {1}{2\pi i } \int _C \dfrac {f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1} } \right |\le \dfrac {M}{R^n} }

Εδώ εργαζόμαστε στον κύκλο κέντρου z_0=0 και ακτίνας  R = \frac {1}{2} o οποίος βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον δοθέντα D(1,\frac{3}{2})


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης