Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Soniram89 · #1

Χαίερετε, χρειάζομαι τη βοήθεια σας στις παρακάτω εφαρμογές. Γνωρίζω ότι η λύση τους απαιτεί τη χρησιμοποίηση του θεωρήματος της αναλυτικής συνέχειας αλλά δεν καταλαβαίνω πως θα το εφαρμόσω.

Το θεώρημα λέει: Αν f,g

δύο συναρτήσεις αναλυτικές στο ίδιο συνεκτικό χωρίο

και

$\forall z\epsilon E\subseteq G$ και το

έχει σημείο συσσώρευσης $z_{0}\epsilon G$ $\Rightarrow f(z)=g(z) \forall z\epsilon G$ .

Εφαρμογές:
Υπάρχει συνάρτηση αναλυτική στο σημείο z=0

η οποία παίρνει τις ακόλουθες τιμές στα σημεία $z=\frac{1}{n}$ , n=1,2,3,....

?

A)

B) $0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{6},...$

Γ) $\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{6},...$

Δ) $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},...$

Ευχαριστώ πολύ!!!

#2

Soniram89 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 3:59 pm

Το θεώρημα λέει: Αν δύο συναρτήσεις αναλυτικές στο ίδιο συνεκτικό χωρίο και $\forall z\epsilon E\subseteq G$ και το έχει σημείο συσσώρευσης $z_{0}\epsilon G$ $\Rightarrow f(z)=g(z) \forall z\epsilon G$ .

Εφαρμογές:
Υπάρχει συνάρτηση αναλυτική στο σημείο η οποία παίρνει τις ακόλουθες τιμές στα σημεία $z=\frac{1}{n}$ ,

A)

B) $0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{6},...$

Γ) $\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{6},...$

Δ) $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},...$

Επειδή η άσκηση είναι απλή, θα μείνω σε υποδείξεις κάποιων από τα ζητούμενα.

Α) Το ερώτημα είναι άσχετο με Αναλυτική συνέχεια. Αναρωτήσου αν μπορεί να υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο

με τιμές

ή

κοντά στο

.

Β) Έστω ότι υπάρχει μια τέτοια

. Πάρε για

το σύνολο των $\frac {1}{n}$ με

περιττό. Βρες μια πολύ εύκολη αναλυτική συνάρτηση

που οι τιμές της στο

είναι

. Τι σου λέει το παραπάνω θεώρημα για τις f, g

; Καμιά αντίφαση εδώ;

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ τον συλλογισμό σου στα παραπάνω και στα υπόλοιπα.

Soniram89 · #3

Επειδή η άσκηση είναι απλή, θα μείνω σε υποδείξεις κάποιων από τα ζητούμενα.

Α) Το ερώτημα είναι άσχετο με Αναλυτική συνέχεια. Αναρωτήσου αν μπορεί να υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο με τιμές ή κοντά στο .

Β) Έστω ότι υπάρχει μια τέτοια . Πάρε για το σύνολο των $\frac {1}{n}$ με περιττό. Βρες μια πολύ εύκολη αναλυτική συνάρτηση που οι τιμές της στο είναι . Τι σου λέει το παραπάνω θεώρημα για τις ; Καμιά αντίφαση εδώ;

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ τον συλλογισμό σου στα παραπάνω και στα υπόλοιπα.

Καταλαβαίνω ότι είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος αλλά εξακολουθώ να μπερδεύομαι:

1) Η

υποθέτουμε ότι έχει π.ο το $\mathbb{C}$ ?

$E=\begin{Bmatrix} \frac{1}{n}, n=2k+1:k\epsilon \mathbb{Z} \end{Bmatrix}$

η αλλιώς

$E=\begin{Bmatrix} 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},...\end{Bmatrix}$

Μοναδικό σ.σ του

είναι το

. Αναλυτική συνάρτηση ώστε οι τιμές της στο

να είναι

,

(φαντάζομαι...θα μπορούσε να υπάρχει άλλη?). Άρα εφόσον $f(z)=g(z)\forall z\epsilon E$ και $0\epsilon \mathbb{C}$ $\Rightarrow f(z)=g(z)\forall z\epsilon \mathbb{C}$ , θα έπρεπε $f(z)=0 \forall z\epsilon \mathbb{C}$ επομένως δεν μπορεί να παίρνει τις τιμές: $\frac{1}{2},\frac{1}{4}, ...$ κ.ο.κ?

Soniram89 · #4

Για το Α) δεν μπορώ να σκεφτώ τέτοια συνάρτηση κ.Λάμπρου, παρόλα αυτά δεν έχω ιδέα πως να αιτιολογίσω τον ισχυρισμό ότι δεν υπάρχει!!

Θα προσπαθήσω να λύσω και τα Γ-Δ!!Σας ευχαριστώ για την πολύτιμη βοήθεια σας!!

#5

Soniram89 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 6:52 pm

Μοναδικό σ.σ του είναι το . Αναλυτική συνάρτηση ώστε οι τιμές της στο να είναι ,
(φαντάζομαι...θα μπορούσε να υπάρχει άλλη?). Άρα εφόσον $f(z)=g(z)\forall z\epsilon E$ και $0\epsilon \mathbb{C}$ $\Rightarrow f(z)=g(z)\forall z\epsilon \mathbb{C}$ , θα έπρεπε $f(z)=0 \forall z\epsilon \mathbb{C}$ επομένως δεν μπορεί να παίρνει τις τιμές: $\frac{1}{2},\frac{1}{4}, ...$ κ.ο.κ?

Σωστά.

Soniram89 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 6:57 pm
Για το Α) δεν μπορώ να σκεφτώ τέτοια συνάρτηση κ.Λάμπρου, παρόλα αυτά δεν έχω ιδέα πως να αιτιολογίσω τον ισχυρισμό ότι δεν υπάρχει!!

Το ζητούμενο είναι να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει τέτοια συνεχής συνάρτηση. Σου αρκούν οι γνώσεις Λυκείου για να το δείξεις.

Soniram89 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 6:57 pm
Θα προσπαθήσω να λύσω και τα Γ-Δ!!Σας ευχαριστώ για την πολύτιμη βοήθεια σας!!

Είναι λίγο πιο πονηρά αυτά.

#6

Πες μας επίσης γιατί η $\displaystyle f(z) = \tfrac{z}{2}\left(1 + \cos\left( \tfrac{\pi}{z} \right) \right)$ δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης f(0) = 0

.)

Soniram89 · #7

Γ) Με την ίδια λογική για $\large E=\begin{Bmatrix} 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},... \end{Bmatrix}$ . Ψάχνουμε $\large g$ αναλυτική ώστε οι τιμές της στο $\large E$ να είναι $\large \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},...$ .
Η $\large g(z)=z$ ικανοποιεί την παραπάνω ιδιότητα στο $\large E$ και επειδή το σ.σ $\large 0\epsilon \mathbb{C}$ θα έπρεπε $\large f(z)=z \forall z\epsilon \mathbb{C}$ . Άτοπο διότι η συνάρτηση πρέπει να διαφέρει στα σημεία $\large z=\frac{1}{3},\frac{1}{5},...$

Δ)H $\large f(z)=\frac{1}{z+1}$ νομίζω ικανοποιεί τις προϋποθέσεις.

Soniram89 · #8

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 12:14 am
Πες μας επίσης γιατί η $\displaystyle f(z) = \tfrac{z}{2}\left(1 + \cos\left( \tfrac{\pi}{z} \right) \right)$ δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης .)

Συγχωρέστε με αν πω πατάτα, αν δείξουμε ότι η f δεν είναι μιγαφικώς παραγωγίσιμη στο 0 δεν έχουμε απαντήσει?

#9

Soniram89 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 1:18 am
Γ) Με την ίδια λογική για $\large E=\begin{Bmatrix} 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},... \end{Bmatrix}$ .

Σωστά εκτός από το τυπογραφικό ότι $\large E=\begin{Bmatrix} \frac{1}{2},\frac{1}{4},... \end{Bmatrix}$

#10

Soniram89 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 1:20 am

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 12:14 am
Πες μας επίσης γιατί η $\displaystyle f(z) = \tfrac{z}{2}\left(1 + \cos\left( \tfrac{\pi}{z} \right) \right)$ δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης .)
Συγχωρέστε με αν πω πατάτα, αν δείξουμε ότι η f δεν είναι μιγαφικώς παραγωγίσιμη στο 0 δεν έχουμε απαντήσει?

Ναι, αυτό πρέπει να δείξεις. (Συνεχής πάντως είναι.)

#11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 9:26 pm

Soniram89 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 6:57 pm
Για το Α) δεν μπορώ να σκεφτώ τέτοια συνάρτηση κ.Λάμπρου, παρόλα αυτά δεν έχω ιδέα πως να αιτιολογίσω τον ισχυρισμό ότι δεν υπάρχει!!
Το ζητούμενο είναι να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει τέτοια συνεχής συνάρτηση. Σου αρκούν οι γνώσεις Λυκείου για να το δείξεις.

Καμιά πρόοδος εδώ;

Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Μέλη σε σύνδεση