Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύγκλιση στο μέσο όρο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Ιουν 16, 2019 8:25 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix} a, &0\leq x<c \\ b& c\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.,a\neq b.

Συμβολίζουμε επίσης με B_nf(x) το πολυώνυμο \displaystyle \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i(1-x)^{n-i}f\left (\frac{i}{n} \right ).

Να δειχθεί ότι B_nf(c)\rightarrow \dfrac{a+b}{2} όταν n\rightarrow \infty.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 17, 2019 12:16 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2019 8:25 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix} a, &0\leq x<c \\ b& c\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.,a\neq b.

Συμβολίζουμε επίσης με B_nf(x) το πολυώνυμο \displaystyle \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i(1-x)^{n-i}f\left (\frac{i}{n} \right ).

Να δειχθεί ότι B_nf(c)\rightarrow \dfrac{a+b}{2} όταν n\rightarrow \infty.

Ουσιαστικά πρόκειται για το πολυώνυμο Bernstein υπολογισμένο στο c. Η f είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [0, 1] και το c \in (0, 1) είναι σημείο ασυνέχειας . Τότε έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \left ( 1-c \right )^{n-i} c^i f \left ( \frac{i}{n} \right ) = \frac{f\left ( c^- \right ) + f \left ( c^+ \right )}{2} = \frac{a+b}{2}}
όπου f(c^-) = \lim \limits_{x \rightarrow c^-} f(x) και f(c^+)=\lim \limits_{x \rightarrow c^+} f(x).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 17, 2019 8:00 am

Λάμπρο θέλω να δω την απόδειξη με τις πιθανότητες. Επιπλέον, θα ήθελα να δω μια αναλυτική απόδειξη του γεγονότος

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 12:16 am
\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \left ( 1-c \right )^{n-i} c^i f \left ( \frac{i}{n} \right ) = \frac{f\left ( c^- \right ) + f \left ( c^+ \right )}{2} = \frac{a+b}{2}}
όπου f(c^-) = \lim \limits_{x \rightarrow c^-} f(x) και f(c^+)=\lim \limits_{x \rightarrow c^+} f(x).

Το αποτέλεσμα μου είναι γνωστό αλλά η απόδειξη όχι!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιουν 20, 2019 8:02 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 26, 2019 12:01 pm

Έστω X_1,X_2,\ldots ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές οι οποίες παίρνουν την τιμή 1 με πιθανότητα c και την τιμή 0 με πιθανότητα 1-c. Έστω Y_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}.

Τότε \displaystyle  P\left(Y_n < c\right) = \sum_{i < nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i} και \displaystyle  P\left(Y_n \geqslant c\right) = \sum_{i \geqslant nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i}

Άρα

\displaystyle \sum_{i \geqslant nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i}f\left( \frac{i}{n}\right) = aP(Y_n < c) + bP(Y_n \geqslant c)

Όμως από το κεντρικό οριακό θεώρημα \displaystyle  \sqrt{n}(Y_n-c) \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0,\sigma^2) όπου \sigma η τυπική απόκλιση των X_i. Τότε έχουμε P(Y_n < c) = P(Y_n \geqslant c) \to \frac{1}{2}. Άρα

\displaystyle \sum_{i \geqslant nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i}f\left( \frac{i}{n}\right) \to \frac{a+b}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες