Σελίδα 1 από 1

Τιμές της Γ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 09, 2019 9:33 pm
από Tolaso J Kos
Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να απλοποιηθεί η τιμή :

\displaystyle{\mathcal{V} = \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{5}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{13}{14} \right )}}

Re: Τιμές της Γ

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 25, 2019 10:28 pm
από Tolaso J Kos
Επαναφορά. Υπάρχει και γενίκευση! Πάντως \mathcal{V}=2.

Re: Τιμές της Γ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 28, 2019 3:23 pm
από dement
Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \displaystyle \Gamma (s) \Gamma (s + 1/2) = 2^{1-2s} \pi^{1/2} \Gamma (2s). Έτσι έχουμε:

\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{14} \right) = 2^{6/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (1/7)}{\Gamma(4/7)}

\displaystyle \Gamma \left( \frac{9}{14} \right) = 2^{5/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (2/7)}{\Gamma(1/7)}

\displaystyle \Gamma \left( \frac{11}{14} \right) = 2^{3/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (4/7)}{\Gamma(2/7)}

και ο αριθμητής ισούται με 4 \pi^{3/2}. Ομοίως έχουμε:

\displaystyle \Gamma \left( \frac{3}{14} \right) = 2^{4/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (3/7)}{\Gamma(5/7)}

\displaystyle \Gamma \left( \frac{5}{14} \right) = 2^{2/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (5/7)}{\Gamma(6/7)}

\displaystyle \Gamma \left( \frac{13}{14} \right) = 2^{1/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (6/7)}{\Gamma(3/7)}

και ο παρονομαστής ισούται με 2 \pi^{3/2}, οπότε \mathcal{V} = 2.

Re: Τιμές της Γ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 28, 2019 5:20 pm
από Tolaso J Kos
Πάνω κάτω τα ίδια ... μόνο που πήγα απ' άλλο δρόμο. Διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
 \mathcal{V}&= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{5}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{13}{14} \right )} \\  
&= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14}\right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left (\frac{14}{14}- \frac{11}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{14}{14}-\frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{14}{14} - \frac{1}{14} \right )}\\  
&= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right )}{\Gamma\left (1- \frac{1}{14} \right )} \cdot \frac{\Gamma\left ( \frac{9}{14} \right )}{\Gamma\left ( 1-\frac{9}{14} \right )} \cdot \frac{\Gamma\left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma\left ( 1-\frac{11}{14} \right )}  
\end{aligned}}
Όμως για x \neq 1 , \frac{1}{2} έχουμε :

\displaystyle{\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(1-x)} = \frac{\Gamma(2x) \Gamma\left ( \frac{1}{2}-x \right )}{\Gamma\left ( \frac{1}{2}+x \right ) \Gamma\left ( 1-2x \right )} \cdot 2^{1-4x}}
και έτσι έχουμε απλοποιήσεις και καταλήγουμε στο 2.