Λογαριθμικό τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3971
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Λογαριθμικό τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 05, 2019 8:11 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_0^\infty \frac{\ln \left(1+x^2 \right) \mathrm{arccot}x}{x} \; \mathrm{d}x = \frac{\pi^3}{12}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3971
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμικό τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 22, 2019 8:57 am

Επαναφορά!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3971
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμικό τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 24, 2019 1:02 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιουν 05, 2019 8:11 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_0^\infty \frac{\ln \left(1+x^2 \right) \mathrm{arccot}x}{x} \; \mathrm{d}x = \frac{\pi^3}{12}}
Ξεκινάμε με 2 λήμματα:

Λήμμα 1: Ισχύει ότι: \displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right )}{x} \, \mathrm{d}x =\frac{\pi^2}{24}}

Απόδειξη: Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned}  
\int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right )}{x} \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{n} \, \mathrm{d}x \\  
&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int_{0}^{1} x^{2n-1} \, \mathrm{d}x \\  
&= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \\  
&= \frac{\eta(2)}{2}\\  
&= \frac{\left ( 1-2^{1-2} \right ) \zeta(2)}{2} \\  
&=\frac{\left ( 1-\frac{1}{2} \right ) \zeta(2)}{2} \\  
&=\frac{\zeta(2)}{4} \\  
&= \frac{\pi^2}{24}  
\end{aligned}}
όπου \eta η συνάρτηση ήτα του Dirichlet και \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann.


Λήμμα 2: Ισχύει ότι: \displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln x \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x = - \frac{\pi^3}{32}}.

Απόδειξη: Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned}  
\int_{0}^{1} \frac{\ln x \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1} \, \mathrm{d}x \\  
&=\int_{0}^{1} \ln x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2n+1} \, \mathrm{d}x \\  
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \int_{0}^{1}x^{2n} \ln x \, \mathrm{d}x \\  
&=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\left ( 2n+1 \right )^3} \\  
&= -\beta(3) \\  
&=-\frac{\pi^3}{32}  
\end{aligned}}
όπου \beta η συνάρτηση βήτα του Dirichlet.


Λήμμα 3: Για κάθε x>0 Ισχύει \displaystyle{\mathrm{arccot} \; x + \arctan x = \arctan \frac{1}{x} + \arctan x = \frac{\pi}{2}}.

Απόδειξη: Εύκολη και αφήνεται στον αναγνώστη.


Συνδυάζοντας τα παραπάνω τρία λήμματα έχουμε διαδοχικά:


\displaystyle{\begin{aligned}  
\int_{0}^{\infty} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \mathrm{arccot}x }{x} \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \mathrm{arccot}x }{x} \, \mathrm{d}x + \int_{1}^{\infty} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \mathrm{arccot} x}{x} \, \mathrm{d}x \\  
&=\int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \mathrm{arccot}x }{x} \, \mathrm{d}x  + \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+\frac{1}{x^2} \right ) \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x \\  
&=\int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \mathrm{arccot}x }{x} \, \mathrm{d}x  + \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \arctan x}{x}\, \mathrm{d}x -\int_0^1 \frac{2 \ln x \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x \\  
&= \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \left ( \mathrm{arccot} x + \arctan x \right )}{x} \, \mathrm{d}x  - 2 \int_{0}^{1} \frac{\ln x \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x \\  
&= \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right ) \left ( \arctan \frac{1}{x} + \arctan x \right )}{x} \, \mathrm{d}x  - 2 \int_{0}^{1} \frac{\ln x \arctan x}{x} \, \mathrm{d}x \\  
&=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{\ln \left ( 1+x^2 \right )}{x} \, \mathrm{d}x + \frac{\pi^3}{16} \\  
&= \frac{\pi^2}{24} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^3}{16} \\ 
 &= \frac{\pi^3}{12}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες