Τύπου Riemann άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4490
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τύπου Riemann άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 26, 2019 2:37 pm

Δικαιολογήσατε ότι:

\displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \left(\frac{2j-1}{m}-1\right) \log \left(\frac{j}{m}\right)  \xrightarrow[m \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} (2x-1)\log x \, \mathrm{d}x =\frac{1}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12969
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπου Riemann άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 26, 2019 3:41 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 26, 2019 2:37 pm
Δικαιολογήσατε ότι:

\displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \left(\frac{2j-1}{m}-1\right) \log \left(\frac{j}{m}\right)  \xrightarrow[m \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} (2x-1)\log x \, \mathrm{d}x =\frac{1}{2}}
Επειδή \log t είναι σταθερό πολλαπλάσιο του \ln t, αρκεί να δείξουμε το παραπάνω για φυσικό λογάριθμο.

H \displaystyle{f(x)=x\ln x} για x\ne 0 και f(0)=0 είναι συνεχής στο [0,1]. Άρα από το Θεώρημα Riemann με ισοδιαμέριση είναι

\displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{2j}{m} \ln \left(\frac{j}{m}\right)  \xrightarrow[m \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} 2x\ln x \, \mathrm{d}x =-\frac{1}{2}}\,(*)

Επίσης \displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{m+1}{m} \ln \left(\frac{j}{m}\right) =\frac{m+1}{m^2} \sum_{j=1}^{m}  \ln \left(\frac{j}{m}\right) = \frac{m+1}{m}\cdot \frac{1}{m}\ln \left(\frac{m!}{m^m}\right)\, (**).

Από Strirling είναι

\displaystyle{ \frac{1}{m}\ln \left(\frac{m!}{m^m}\right)=  \ln \frac { \sqrt [m]{ m!} }{m} \to \ln \frac {1}{e} =-1} οπότε το δεξί μέλος της (**) τείνει στο -1. Με άλλα λόγια η (**) γράφεται

\displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{m+1}{m} \ln \left(\frac{j}{m}\right) \xrightarrow[m \rightarrow +\infty]{}-1 (***)}

Γράφοντας \displaystyle{ 1= -\int_{0}^{1} \ln  x dx } και αφαιρώντας κατά μέλη τις (*), (***) έπεται το ζητούμενο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τύπου Riemann άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 26, 2019 11:25 pm

Είναι

\displaystyle{\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \left(\frac{2j-1}{m}-1\right) \log \left(\frac{j}{m}\right) = {\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \left(\frac{2j}{m}-1\right) \log \left(\frac{j}{m}\right)-\frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{m}  \log \left(\frac{j}{m}\right)(1)

Είναι γνωστό ότι για μονότονη συνάρτηση και γενικευμένο Riemann ισχύει

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx

(σίγουρα έχει συζητηθεί εδώ)

Το προηγούμενο εξακολουθεί να ισχύει αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,1] και μονότονη
στο (0,a) για κάποιο 0<a<1.

Ετσι ο τελευταίος όρος στην (1) συγκλίνει στο 0

Αν πάρουμε την f(x)=(2x-1)\log x
και το εφαρμόσουμε παίρνουμε το ζητούμενο.


Εναλλακτικά μπορούμε να το εφαρμόσουμε για την μονότονη \log x και την συνεχή 2x\log x


Συμπλήρωμα. Ευχαριστώ τον Μιχάλη Λάμπρου που μου υπέδειξε σφάλμα στην σχέση (1).
Η (1) διορθώθηκε .Επίσης με μπλε έγινε μια προσθήκη στο αρχικό κείμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12969
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπου Riemann άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 27, 2019 10:24 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 26, 2019 11:25 pm

Είναι γνωστό ότι για μονότονη συνάρτηση και γενικευμένο Riemann ισχύει

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx

(σίγουρα έχει συζητηθεί εδώ)

Το προηγούμενο εξακολουθεί να ισχύει αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,1] και μονότονη
στο (0,a) για κάποιο 0<a<1.
.
Σωστά. Βλέπε εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες