Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Έστω πολυώνυμο το οποίο δεν είναι ταυτοτικά . Δείξτε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.
Υποθέτω στόχος μας είναι να φτιάξουμε μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής και να βρούμε ένα για το οποίο είναι η αρνητική, και άλλο ένα για το οποίο είναι θετική. Άρα αναγκαστικά θα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε .
Το όριο όταν είναι Το όριο όταν είναι και το είναι , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital τόσες φορές όσες ο βαθμός του πολυωνύμου θα πάρουμε στο τέλος ότι οπότε . Άρα, αφού συνεχής αναγκαστικά περνάει και από το άρα έχει αναγκαστικά τουλάχιστον μία πραγματική λύση. Είμαι σωστός; Κάποια άλλη προσέγγιση; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Υποθέτω στόχος μας είναι να φτιάξουμε μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής και να βρούμε ένα για το οποίο είναι η αρνητική, και άλλο ένα για το οποίο είναι θετική. Άρα αναγκαστικά θα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε .
Το όριο όταν είναι Το όριο όταν είναι και το είναι , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital τόσες φορές όσες ο βαθμός του πολυωνύμου θα πάρουμε στο τέλος ότι οπότε . Άρα, αφού συνεχής αναγκαστικά περνάει και από το άρα έχει αναγκαστικά τουλάχιστον μία πραγματική λύση. Είμαι σωστός; Κάποια άλλη προσέγγιση; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Μέσες άκρες σωστός (αλλά πλατειάζεις) όμως το παραπάνω σημείο θέλει επιδιόρθωση. Το πρόβλημα είναι ότι το δεν είναι πάντα παραγωγίσιμο. Εύκολα διορθώνεται, αλλά το αφήνω χωρίς υπόδειξη για να το σκεφθείς.
Υπάρχει και λίγο ευκολότερος τρόπος επίλυσης. Το αφήνω για αργότερα.
Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Αν πάρω μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital;
Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Επίσης σκέφτηκα το εξής για το . Κάνοντας χρήσεις του Κανόνα l'Hospital έχουμε όταν . Ως εκ τούτου υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε για .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Όχι ακριβώς. Κάτι πας να πεις, αλλά κάπου χάνεσαι στην λεπτομέρεια.
Πρώτα απ' όλα μπορεί να μην έχει καμία ρίζα ή να έχει ρίζες αλλά να είναι όλες αρνητικές. Για δες το ξανά αλλά κάνοντας την απαραίτητη βελτίωση σε αυτό που προσπαθείς να πεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση
Για να δούμε γιατί αν πολυώνυμο
υπάρχει
με
χωρίς όρια στηριζόμενοι στην προφανή
Εστω
Αν θέσουμε
τότε για είναι
Αλλά
Αρκεί να πάρουμε τέτοιο ώστε
υπάρχει
με
χωρίς όρια στηριζόμενοι στην προφανή
Εστω
Αν θέσουμε
τότε για είναι
Αλλά
Αρκεί να πάρουμε τέτοιο ώστε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες