Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

MathSc
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Κυρ Μάιος 19, 2019 9:09 pm

Έστω P πολυώνυμο το οποίο δεν είναι ταυτοτικά 0. Δείξτε ότι η εξίσωση e^{x}=\left | P(x) \right | έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.

Υποθέτω στόχος μας είναι να φτιάξουμε μια συνάρτηση f(x) = e^{x}- \left | P(x) \right |, η οποία είναι συνεχής και να βρούμε ένα x για το οποίο είναι η f αρνητική, και άλλο ένα για το οποίο είναι θετική. Άρα αναγκαστικά θα υπάρχει κάποιο x_{0} τέτοιο ώστε f(x_{0})=0.
Το όριο όταν  x\rightarrow -\infty είναι \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}-\left | P(x) \right |= 0 - (+\infty) = - \infty . } Το όριο όταν  x\rightarrow +\infty είναι \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}-\left | P(x) \right |= \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}(1 - \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}) } και το  \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}} είναι \frac{+\infty}{+\infty} , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital τόσες φορές όσες ο βαθμός του πολυωνύμου θα πάρουμε στο τέλος ότι  \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}=0 οπότε \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}(1 - \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}})= +\infty. Άρα, αφού f συνεχής αναγκαστικά περνάει και από το f(x)=0 άρα έχει αναγκαστικά τουλάχιστον μία πραγματική λύση. Είμαι σωστός; Κάποια άλλη προσέγγιση; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11098
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 9:37 pm

MathSc έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 9:09 pm
το  \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}} είναι \frac{+\infty}{+\infty} , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital
Μέσες άκρες σωστός (αλλά πλατειάζεις) όμως το παραπάνω σημείο θέλει επιδιόρθωση. Το πρόβλημα είναι ότι το |P(x)| δεν είναι πάντα παραγωγίσιμο. Εύκολα διορθώνεται, αλλά το αφήνω χωρίς υπόδειξη για να το σκεφθείς.

Υπάρχει και λίγο ευκολότερος τρόπος επίλυσης. Το αφήνω για αργότερα.


MathSc
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Κυρ Μάιος 19, 2019 11:42 pm

Αν πάρω x μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital;


MathSc
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Κυρ Μάιος 19, 2019 11:54 pm

Επίσης σκέφτηκα το εξής για το +\infty. Κάνοντας χρήσεις του Κανόνα l'Hospital έχουμε \displaystyle{\frac{P(x)}{e^{x}}\rightarrow 0} όταν  x\rightarrow +\infty. Ως εκ τούτου υπάρχει κάποιο N τέτοιο ώστε \left | \frac{P(x)}{e^{x}} \right | < 1 για x>N.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11098
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 11:55 pm

MathSc έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 11:42 pm
Αν πάρω x μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital;
Όχι ακριβώς. Κάτι πας να πεις, αλλά κάπου χάνεσαι στην λεπτομέρεια.

Πρώτα απ' όλα μπορεί να μην έχει καμία ρίζα ή να έχει ρίζες αλλά να είναι όλες αρνητικές. Για δες το ξανά αλλά κάνοντας την απαραίτητη βελτίωση σε αυτό που προσπαθείς να πεις.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 20, 2019 12:18 pm

Για να δούμε γιατί αν P(x) πολυώνυμο
υπάρχει a\in \mathbb{R}
με
e^{a}> |P(a)|
χωρίς όρια στηριζόμενοι στην προφανή

e^{x}> x

Εστω
P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}
Αν θέσουμε
M=\sum_{k=0}^{n}|a_{k}|

τότε για x>1 είναι

|P(x)|\leq Mx^{n}

Αλλά
e^{x}=(e^{\frac{x}{n+1}})^{n+1}> \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}

Αρκεί να πάρουμε x τέτοιο ώστε

\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}> Mx^{n} \Leftrightarrow x> M(n+1)^{n+1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης