Σύγκλιση σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Κυρ Μάιος 19, 2019 8:30 pm

Έστω (x_{n})_{n\in \mathbb{N}} ακολουθία με μη αρνητικούς όρους που ικανοποιεί  \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} < +\infty . Δείξτε
ότι για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με f(0)=0 η σειρά  \sum_{n=1}^{\infty } f(x_{n}) συγκλίνει.

Σκέφτηκα έναν τρόπο λύσης άλλα δεν μου φαίνεται 100% σωστός.
Σκέφτηκα να πάρω τις σειρές  \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} και  \sum_{n=1}^{\infty } \left | f(x_{n}) \right | που είναι μη αρνητικές και να εφαρμόσω το Κριτήριο Οριακής Σύγκρισης.
\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\left | f(x_{n}) \right |}{x_{n}}= \lim_{n\rightarrow +\infty}\left | \frac{ f(x_{n}) }{x_{n}} \right |= \lim_{n\rightarrow +\infty}\left | \frac{ f(x_{n}) - f(0) }{x_{n} - 0} \right | } και αφού  \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} < +\infty άρα x_{n} \rightarrow 0, οπότε το όριο θα γίνει: \displaystyle{ \lim_{x_{n}\rightarrow 0}\left | \frac{ f(x_{n}) - f(0) }{x_{n} - 0} \right | } που είναι η  \left | f'(0) \right | και  \left | f'(0) \right |\geq 0 άρα σε κάθε περίπτωση αφού η  \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} συγκλίνει τότε και η  \sum_{n=1}^{\infty }  f(x_{n}) συγκλίνει απόλυτα, άρα συγκλίνει.
Το πρόβλημα είναι ότι το κριτήριο αναφέρεται σε θετικές ακολουθίες, όχι σε μη αρνητικές.
Κάποια ιδέα; Ευχαριστώ πολύ!



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 8:58 pm

lefsk έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 8:30 pm
Το πρόβλημα είναι ότι το κριτήριο αναφέρεται σε θετικές ακολουθίες, όχι σε μη αρνητικές.
Κάποια ιδέα; Ευχαριστώ πολύ!
Αν x_k=0 για κάποιο k τότε απλά παραλείπουμε αυτόν τον όρο από το \sum x_n (δεν αλλάζει η τιμή του). Επειδή f(0)=0 δεν αλλάζει ούτε η τιμή του \sum f(x_n). Έτσι η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Ας σημειώσω ότι έχεις ήδη χρησιμοποιήσει x_n\ne 0 για κάθε n. Είναι στο σημείο όπου εμφανίζονται παρονομαστές x_n.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Σύγκλιση σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Κυρ Μάιος 19, 2019 9:19 pm

Σωστά, αν παραλείψουμε πεπερασμένο πλήθος όρων, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Κατάλαβα, σας ευχαριστώ πολύ! Καλό βράδυ!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 9:27 pm

lefsk έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 9:19 pm
Σωστά, αν παραλείψουμε πεπερασμένο πλήθος όρων, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Κατάλαβα, σας ευχαριστώ πολύ! Καλό βράδυ!
Ακόμα καλύτερα: Και άπειρο πλήθος μηδενικών αν παραλείψεις, το άθροισμα δεν αλλάζει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες