Όριο με ρίζα και διωνυμικό συντελεστή

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{m\rightarrow +\infty}\sqrt[m^2+m]{\binom{m}{1}\binom{m}{2}\cdots\binom{m}{m}}}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 10:58 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{m\rightarrow +\infty}\sqrt[m^2+m]{\binom{m}{1}\binom{m}{2}\cdots\binom{m}{m}}}$

Δίνουμε μία απάντηση στο εύκολο αυτό θέμα...

Έστω $a_m=\sqrt[m^2+m]{\binom{m}{1}\binom{m}{2}\cdots\binom{m}{m}}$ . Τότε,

$\displaystyle{\log a_m = \log \sqrt[m^2+m]{\binom{m}{1}\binom{m}{2}\cdots\binom{m}{m}} = \frac{1}{m^2+m} \sum_{k=1}^{m} \log \binom{m}{k}}$
οπότε από Stolz–Cesàro έπεται ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{m \rightarrow +\infty} \log a_m &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m^2+m} \sum_{k=1}^{m} \log \binom{m}{k} \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{\sum \limits_{k=1}^{m+1} \log \binom{m+1}{k} - \sum \limits_{k=1}^{m} \log \binom{m}{k}}{(m+1)^2 + (m+1) -(m^2+m)} \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{2m+2} \sum_{k=1}^{m} \log \frac{m+1}{m+1-k} \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{\log \frac{(m+1)^m}{m!}}{2m+2}\\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{m+1} \cdot \log \frac{m+1}{\sqrt[m]{m!}} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \log e \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}}$
Άρα $\ell=\sqrt{e}$ .

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 10:58 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{m\rightarrow +\infty}\sqrt[m^2+m]{\binom{m}{1}\binom{m}{2}\cdots\binom{m}{m}}}$

Μία δεύτερη λύση.

Ξεκινάμε με την απλή παρατήρηση ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \log k! = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \log j = \sum_{j=1}^{n} (n+1-j) \log j}$ . Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m} \log \binom{m}{k} &= (m+1) \log m! - 2 \sum_{k=1}^{m} \log k! \\ &= \sum_{j=1}^{m} (2j-m-1) \log j \\ &= \sum_{j=1}^{m} (2j-m-1) \log \left(\frac{j}{m}\right) \end{aligned}}$
διότι $\sum \limits_{j=1}^{m} (2j-m-1) \log m = 0$ . Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{m(m+1)}\sum_{k=1}^{m} \log \binom{m}{k} &= \frac{m}{m+1} \sum_{j=1}^{m} \left(\frac{2j-1}{m}-1\right) \log \left(\frac{j}{m}\right) \, \frac{1}{m} \\ &\longrightarrow \int_{0}^{1} (2x-1)\log x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \end{aligned}}$
από εδώ.

Άρα $\ell=\sqrt{e}$ .

Όριο με ρίζα και διωνυμικό συντελεστή

Όριο με ρίζα και διωνυμικό συντελεστή

Re: Όριο με ρίζα και διωνυμικό συντελεστή

Re: Όριο με ρίζα και διωνυμικό συντελεστή

Μέλη σε σύνδεση