Ισχυρότερη της Holder (;)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Ισχυρότερη της Holder (;)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Μάιος 12, 2019 6:39 pm

Μου προέκυψε σαν γενίκευση μιας άσκησης και νομίζω έχει ένα ενδιαφέρον για την δομή των L^{p}, (όλα τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue).

Έστω συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R} έτσι ώστε οι f^{p}, g^{q} να είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε φραγμένη μπάλα στον \mathbb{R}^{d} και υπάρχει 0<a<1 (σταθερά) τέτοια ώστε:

\displaystyle{|\int_{B}f(x)g(x)d\lambda (x)|\leq a(\int_{B}|f(x)|^{p} d\lambda(x))^{\frac{1}{p}} \cdot (\int_{B}|g(x)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}}

Για κάθε φραγμένη μπάλα B, όπου p,q είναι συζυγείς εκθέτες.

Δείξτε ότι f(x) \cdot g(x)=0 σχεδόν παντού (ως προς το μέτρο Lebesgue).


Αρμενιάκος Σωτήρης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ισχυρότερη της Holder (;)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 13, 2019 5:11 pm

sot arm έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:39 pm
Μου προέκυψε σαν γενίκευση μιας άσκησης και νομίζω έχει ένα ενδιαφέρον για την δομή των L^{p}, (όλα τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue).

Έστω συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R} έτσι ώστε οι f^{p}, g^{q} να είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε φραγμένη μπάλα στον \mathbb{R}^{d} και υπάρχει 0<a<1 (σταθερά) τέτοια ώστε:

\displaystyle{|\int_{B}f(x)g(x)d\lambda (x)|\leq a(\int_{B}|f(x)|^{p} d\lambda(x))^{\frac{1}{p}} \cdot (\int_{B}|g(x)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}}

Για κάθε φραγμένη μπάλα B, όπου p,q είναι συζυγείς εκθέτες.

Δείξτε ότι f(x) \cdot g(x)=0 σχεδόν παντού (ως προς το μέτρο Lebesgue).
Γεια σου Σωτήρη.
Εχεις την παρακάτω λύση;
Η κάποια άλλη.

Για όποιον γνωρίζει το παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... on_theorem
είναι σχεδόν τετριμένο.

Γράφοντας την σχέση

\displaystyle|\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}f(x+t)g(x+t)d\lambda (t)|\leq
 a(\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}|f(x+t)|^{p} d\lambda(t))^{\frac{1}{p}} \cdot (\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}|g(x+t)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}

και παίρνοντας r\rightarrow 0^{+}

έχουμε σχεδόν παντού |f(x)g(x)|\leq a|f(x)||g(x)|

και επειδή 0<a<1 έχουμε αυτό που θέλουμε.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ισχυρότερη της Holder (;)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Μάιος 13, 2019 8:54 pm

Καλησπέρα κύριε Σταύρο, αυτή την λύση έχω. Δεν μου φάνηκε προφανής η εφαρμογή του θεωρήματος και είναι και σχετικά "βαρύ", θεώρησα πάντως ότι έχει ενδιαφέρον σαν αποτέλεσμα. Θα ήθελα να δω μία πιο στοιχειώδης λύση.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες