Τριγωνομετρική σειρά 1

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η τριγωνομετρική σειρά

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\sin n!x$

$x\in \mathbb{R}$

Να δειχθεί ότι υπάρχουν υπεραριθμήσιμο το πλήθος σημείων που συγκλίνει
καθώς και υπεραριθμήσιμο το πλήθος σημείων που αποκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Την ξέχασα.

#3

Έστω ακολουθία (a_n)

όπου κάθε όρος είναι ίσος με

ή

με την επιπλέον συνθήκη ότι a_n=0

αν

σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών

για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s}$ αποκλίνει και θέστε a_n=0

για $n \notin S$ .]

Ορίζω $\displaystyle x = 2\pi \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!}.$ Θα δείξω ότι η σειρά συγκλίνει απόλυτα για αυτό το

.

Αν $a_{n+1}=1$ τότε $\displaystyle \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n! a_k}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n}$ .

Τότε έχουμε $|\sin(n!x)| \leqslant \sin(\tfrac{2\pi}{n}) \leqslant \frac{2\pi}{n}$ .

Αν $a_{n+1} = 0$ τότε $\displaystyle \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n! a_k}{k!} \leqslant \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{n!}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n(n+1)}$ .

Τότε έχουμε $|\sin(n!x)| \leqslant \sin(\tfrac{2\pi}{n(n+1)}) \leqslant \frac{2\pi}{n(n+1)}$ .

Άρα $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |\sin{(n!x)}| \leqslant \sum_{n+1 \notin S} \frac{1}{n(n+1)} + \sum_{n+1 \in S} \frac{1}{n} < \infty.$

Ασφαλώς υπάρχουν υπεραριθμήσιμες επιλογές για την ακολουθία (a_n)

. Όλες δίνουν διαφορετική τιμή του

όπως έχουμε δει και εδώ. Άρα έχουμε υπεραριθμήσιμα σημεία για τα οποία η σειρά συγκλίνει.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε και υπεραριθμήσιμα σημεία για τα οποία η σειρά δεν συγκλίνει. Πιο συγκεκριμένα κάνουμε τις εξής αλλαγές:

Στην (a_n)

η επιπλέον συνθήκη γίνεται τώρα a_n = 1

για

σύνθετο.

Για $a_{n+1}=1$ θα έχουμε $\displaystyle \frac{1}{n+1} \leqslant \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} \leqslant \frac{1}{n}.$
Για $n \geqslant 4$ η ανισότητα Jordan δίνει $\sin(n!x) \geqslant \frac{2}{\pi(n+1)}$ .

Για $a_{n+1}=0$ θα έχουμε $\displaystyle 0 \leqslant \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} \leqslant \frac{1}{n(n+1)}$
Τότε $\sin(n!x) \geqslant 0$ .

Είναι απλό τώρα ότι η σειρά αποκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 13, 2019 1:30 pm
Έστω ακολουθία όπου κάθε όρος είναι ίσος με ή με την επιπλέον συνθήκη ότι αν σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s}$ αποκλίνει και θέστε για $n \notin S$ .]

Ορίζω $\displaystyle x = 2\pi \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!}.$ Θα δείξω ότι η σειρά συγκλίνει απόλυτα για αυτό το .

Αν $a_{n+1}=1$ τότε $\displaystyle \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n! a_k}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n}$ .

Τότε έχουμε $|\sin(n!x)| \leqslant \sin(\tfrac{2\pi}{n}) \leqslant \frac{2\pi}{n}$ .

Αν $a_{n+1} = 0$ τότε $\displaystyle \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n! a_k}{k!} \leqslant \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{n!}{k!} \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n(n+1)}$ .

Τότε έχουμε $|\sin(n!x)| \leqslant \sin(\tfrac{2\pi}{n(n+1)}) \leqslant \frac{2\pi}{n(n+1)}$ .

Άρα $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |\sin{(n!x)}| \leqslant \sum_{n+1 \notin S} \frac{1}{n(n+1)} + \sum_{n+1 \in S} \frac{1}{n} < \infty.$

Ασφαλώς υπάρχουν υπεραριθμήσιμες επιλογές για την ακολουθία . Όλες δίνουν διαφορετική τιμή του όπως έχουμε δει και εδώ. Άρα έχουμε υπεραριθμήσιμα σημεία για τα οποία η σειρά συγκλίνει.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε και υπεραριθμήσιμα σημεία για τα οποία η σειρά δεν συγκλίνει. Πιο συγκεκριμένα κάνουμε τις εξής αλλαγές:

Στην η επιπλέον συνθήκη γίνεται τώρα για σύνθετο.

Για $a_{n+1}=1$ θα έχουμε $\displaystyle \frac{1}{n+1} \leqslant \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} \leqslant \frac{1}{n}.$
Για $n \geqslant 4$ η ανισότητα Jordan δίνει $\sin(n!x) \geqslant \frac{2}{\pi(n+1)}$ .

Για $a_{n+1}=0$ θα έχουμε $\displaystyle 0 \leqslant \left\{\frac{n!x}{2\pi}\right\} \leqslant \frac{1}{n(n+1)}$
Τότε $\sin(n!x) \geqslant 0$ .

Είναι απλό τώρα ότι η σειρά αποκλίνει.

Τα παρακάτω είναι αντιφατικά

1)Έστω ακολουθία (a_n)

όπου κάθε όρος είναι ίσος με

ή

με την επιπλέον συνθήκη ότι a_n=0

αν

σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών

για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s}$ αποκλίνει και θέστε a_n=0

για $n \notin S$ .]

2)Άρα $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |\sin{(n!x)}| \leqslant \sum_{n+1 \notin S} \frac{1}{n(n+1)} + \sum_{n+1 \in S} \frac{1}{n} < \infty.$

Η διόρθωση είναι προφανής.
Βάζουμε a_n=0

αν το

δεν είναι τέλειο τετράγωνο και
$S=\left \{ n^{2}:n\in \mathbb{N} \right \}$
κλπ.

Επί της ουσίας.
Η σειρά συγκλίνει σε σύνολο μέτρου

οπότε αυτόματα το σύνολο που αποκλίνει είναι υπεραριθμήσιμο.

Αν

είναι το σύνολο που συγκλίνει τότε

$x\in E\Rightarrow \sin n!x\rightarrow 0\Rightarrow (\sin n!x)^{2}\rightarrow 0$

Χρησιμοποιόντας το Lebesgue-Riemann

παίρνουμε ότι |E|=0

κλπ

Τριγωνομετρική σειρά 1

Τριγωνομετρική σειρά 1

Re: Τριγωνομετρική σειρά 1

Re: Τριγωνομετρική σειρά 1

Re: Τριγωνομετρική σειρά 1

Μέλη σε σύνδεση