Ερώτηση

#1

Παραθέτω την ακριβή διατύπωση της άσκησης:

"Να επαληθευτεί το θεώρημα του Green για την συνάρτηση $\overrightarrow{F}(x,y)=xy\overrightarrow{i}-xy^2\,\overrightarrow{j}$ στο χωρίο $D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\}$ ."

Ερώτηση: Τι θα απαντούσατε;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:35 am
Παραθέτω την ακριβή διατύπωση της άσκησης:

"Να επαληθευτεί το θεώρημα του Green για την συνάρτηση $\overrightarrow{F}(x,y)=xy\overrightarrow{i}-xy^2\,\overrightarrow{j}$ στο χωρίο $D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\}$ ."

Ερώτηση: Τι θα απαντούσατε;

Γεια Γρηγόρη.

Θα υπολόγιζα το επικαμπύλιο και το διπλό και θα τα έβγαζα ίσα.
Το επικαμπύλιο βέβαια είναι δύο.

Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........

Christos.N · #3

Γρηγόρη μήπως εννοείται έτσι;

: DeepinScreenshot_select-area_20190505154206.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:23 pm
...Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........

Σταύρο, η άσκηση δόθηκε σε φοιτητές με μοναδικό δεδομένο το θεώρημα του Green για κανονικό χωρίο με σύνορο μια απλή, κλειστή, διαφορίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη. Επομένως δεν είναι αυτονόητη η εφαρμογή του θεωρήματος σε δακτυλική περιοχή. Επεκτείνεται μεν, αλλά αυτό θέλει απόδειξη.

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:43 pm
Γρηγόρη μήπως εννοείται έτσι;

Χρήστο, δόθηκε μόνο η παρατεθείσα εκφώνηση. Μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα και σε δακτυλική περιοχή διαμερίζοντάς την π.χ. όπως στο παρακάτω σχήμα.

: annulus.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 05, 2019 7:47 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:23 pm
...Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........
Σταύρο, η άσκηση δόθηκε σε φοιτητές με μοναδικό δεδομένο το θεώρημα του Green για κανονικό χωρίο με σύνορο μια απλή, κλειστή, διαφορίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη. Επομένως δεν είναι αυτονόητη η εφαρμογή του θεωρήματος σε δακτυλική περιοχή. Επεκτείνεται μεν, αλλά αυτό θέλει απόδειξη.

Αν είναι έτσι τότε ΚΑΚΩΣ δόθηκε.
Διότι απλούστατα δεν μπορεί να εφαρμοσθεί το θεώρημα σε αυτό το χωρίο.

https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem

#6

Δίνουμε μια πιο εκτεταμένη επίλυση:

Το χωρίο $D=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\}$ δεν είναι κανονικό και, επομένως, δεν εφαρμόζεται άμεσα το θεώρημα του Green σε αυτό. Όμως αν διαμερίσουμε το

στα σύνολα $A_+=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4,\, y\geqslant0\big\}$ και $A_-=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4,\, y\leqslant0\big\}$ , τότε εφαρμόζεται σε αυτά τα κανονικά χωρία.

: annulus.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

$\begin{aligned} &\left.\begin{array}{l} \displaystyle\ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}=\iint\limits_{A_+}(-y^2-x)\,d(x,y)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \displaystyle\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-} \overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}=\iint\limits_{A_-}(-y^2-x)\,d(x,y) \end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-} \overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\stackrel{\mu(\partial(A_+\cup A_-))\,=\,0}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\iint\limits_{D}(-y^2-x)\,d(x,y)\quad(1) \end{aligned}$
Όμως
$\begin{aligned} \ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-} \overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}&=\oint\limits_{\gamma_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\ell_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\ell_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\,+\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\qquad\oint\limits_{\gamma_3}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{-\ell_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_4}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{-\ell_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\oint\limits_{\gamma_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_3}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_4}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\ointctrclockwise\limits_{\|\vec{x}\|=2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointclockwise\limits_{\|\vec{x}\|=1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\ointctrclockwise\limits_{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r} \end{aligned}$
και, λόγω της (1)

, επαληθεύτηκε το θεώρημα του Green στο χωρίο

για το $\overrightarrow{F}$ .

#7

Λίγο πιο απλά από πλευράς πράξεων είναι να θεωρήσουμε ως χωρίο τον μεγάλο κύκλο (με την περιφέρειά του ως κλειστή καμπύλη) και να αφαιρέσουμε το χωρίο με τον μικρό κύκλο. Με άλλα λόγια επαληθεύουμε το θεώρημα Green σε κάθε χωρίο χωριστά, και αφαιρούμε.

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση