Η σειρά του Euler

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Η σειρά του Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 17, 2019 12:51 am

Ας δηλώνει η \phi τη συνάρτηση φι του Euler. Να δειχθεί ότι για s>2 ισχύει:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \phi(n)}{n^s} =-\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-3}{2^s-1}}
όπου \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Η σειρά του Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μάιος 17, 2019 8:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Απρ 17, 2019 12:51 am
Ας δηλώνει η \phi τη συνάρτηση φι του Euler. Να δειχθεί ότι για s>2 ισχύει:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \phi(n)}{n^s} =-\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-3}{2^s-1}}
όπου \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Δίδουμε μία λύση...


Από το γινόμενο του Euler έχουμε:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_{p}\left(1+\frac{\phi(p)}{p^s}+\frac{\phi(p^2)}{p^{2s}}+\frac{\phi(p^3)}{p^{3s}}+\cdots\right)= \prod_{p}\frac{p^s-1}{p^s-p}}
και συνεπώς

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_p \frac{1-\frac{1}{p^{s}}}{1-\frac{1}{p^{s-1}}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \quad \quad (1)}
\displaystyle{ \sum_{\substack{n\geq 1\\n\text{ odd}}}\frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_{p>2} \frac{1-\frac{1}{p^{s}}}{1-\frac{1}{p^{s-1}}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-2}{2^s-1} \quad \quad (2)}
Το αποτέλεσμα έπεται συνδυάζοντας τις (1), (2).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης