Η σειρά του Euler

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώνει η $\phi$ τη συνάρτηση φι του Euler. Να δειχθεί ότι για s>2

ισχύει:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \phi(n)}{n^s} =-\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-3}{2^s-1}}$
όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2019 12:51 am
Ας δηλώνει η $\phi$ τη συνάρτηση φι του Euler. Να δειχθεί ότι για ισχύει:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \phi(n)}{n^s} =-\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-3}{2^s-1}}$
όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Δίδουμε μία λύση...

Από το γινόμενο του Euler έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_{p}\left(1+\frac{\phi(p)}{p^s}+\frac{\phi(p^2)}{p^{2s}}+\frac{\phi(p^3)}{p^{3s}}+\cdots\right)= \prod_{p}\frac{p^s-1}{p^s-p}}$
και συνεπώς

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_p \frac{1-\frac{1}{p^{s}}}{1-\frac{1}{p^{s-1}}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \quad \quad (1)}$
$\displaystyle{ \sum_{\substack{n\geq 1\\n\text{ odd}}}\frac{\phi(n)}{n^s} = \prod_{p>2} \frac{1-\frac{1}{p^{s}}}{1-\frac{1}{p^{s-1}}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-2}{2^s-1} \quad \quad (2)}$
Το αποτέλεσμα έπεται συνδυάζοντας τις (1), (2)

.

Η σειρά του Euler

Η σειρά του Euler

Re: Η σειρά του Euler

Μέλη σε σύνδεση