Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 2:53 pm

Υπολογίστε το όριο  \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x-\sin(x)+y}{x^{3}+6y} (αν υπάρχει)

Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos\theta  - \sin(r\cos\theta) +r\sin\theta}{r^{3}\cos^{3}\theta +6r\sin\theta} } .
Μετά διαίρεσαν αριθμητή παρονομαστή με r και βρήκαν μεμονωμένα τα όρια
\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\cos\theta  }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\cos\theta}{6\sin\theta}}

\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} }
Για αυτό πήραν \lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} , πολλαπλασίασαν αριθμητή παρονομαστή με \cos\theta και έδειξαν ότι \lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} = - \cos\theta . Έπειτα πήραν ότι  \lim_{r\rightarrow 0}(r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta) = 6\sin\theta . Άρα  \lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{-\cos\theta}{6\sin\theta}

και \displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\sin\theta  }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{6\sin\theta}= \frac{1}{6}  }
και από αυτά τα 3 όρια προκύπτει, άμα τα αθροίσουμε, ότι το αρχικό όριο κάνει  \frac{1}{6} .

Εγώ πιστεύω πως δεν είναι σωστή λύση. Ποια είναι η γνώμη σας; Αν υπάρχουν λάθη, μπορείτε να μου δείξετε που; Η διαδικασία που ακολούθησε δεν πιστεύω πως ανταποκρίνεται στις ιδιότητες των ορίων.

Στην προσπάθειά μου να την λύσω έκανα το εξής:
Καθώς  x \rightarrow 0, \sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!} + o(x^{5}) και δοκίμασα το μονοπάτι  y=\frac{−x^{3}}{6}+ax^{5}, a\neq 0 .
Το όριο εξαρτιόταν από το a.

Ευχαριστώ!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 16, 2019 3:14 pm

Έχεις απόλυτο δίκαιο ότι η λύση δεν είναι σωστή.

Με τον μετασχηματισμό x=r\cos{\vartheta},y=r\sin{\vartheta} προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορεί να μην υπάρχει.

Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα είναι το όριο: \displaystyle  \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}

Σε κάθε ευθεία το όριο ισούται με 0 αλλά στην παραβολή y=x^2 το όριο ισούται με 1/2.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pm

Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3111
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 5:55 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pm
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός;

Δεν μπορείς να πεις τίποτα ως προς την ύπαρξη του ορίου. Μπορεί να υπάρχει μπορεί και όχι. Αν υπάρχει τότε είναι αυτός ο αριθμός

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;

Όχι η επίλυση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί το όριο δεν υπάρχει.

Για να δούμε ότι δεν υπάρχει ο απλούστερος τρόπος είναι:

Να πάρουμε το όριο πάνω στην y=x^3 και μετά στην y=0


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm

Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3111
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 9:07 pm

Ναι ναι τα κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας, καλό βράδυ! :clap2:


kharga
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 15, 2013 2:25 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kharga » Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm
lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Έχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδή
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3111
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm

kharga έγραψε:
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm
lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Έχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδή
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."
kharga έγραψε:
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0
Υπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}
δεν έχει νόημα για x=0
Αν όμως γραφεί
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq  | x|\to 0
τότε έχουμε το όριο.

kharga έγραψε:
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες
Θα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.

Εστω f:\mathbb{R}^{2}-\left \{ (0,0) \right \}\rightarrow \mathbb{R}
και υπάρχει g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}
συνάρτηση ώστε για κάθε 0<r<\epsilon , \theta \in [0,2\pi )
είναι
|f(r\cos \theta ,r\sin \theta)|\leq g(r)

Αν
\lim_{r\rightarrow 0^{+}}g(r)=0
τότε
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0


kharga
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 15, 2013 2:25 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kharga » Τρί Ιούλ 21, 2020 9:43 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
Υπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}
δεν έχει νόημα για x=0
Όταν λέμε όριο συνάρτησης για (x,y)\to (0,0) ζητάμε ένα \delta>0 και μελετάμε για 0<\|(x,y)\|<\delta δηλαδή (x,y)\neq (0,0). Αυτό είναι στάνταρ για όλα τα όρια όλων των απειροστικών, μην το συζητήσουμε.- αυτό είναι λάθος, έπρεπε πράγματι να γράψω
\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq |x|
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
Θα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.

Εστω f:\mathbb{R}^{2}-\left \{ (0,0) \right \}\rightarrow \mathbb{R}
και υπάρχει g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}
συνάρτηση ώστε για κάθε 0<r<\epsilon , \theta \in [0,2\pi )
είναι
|f(r\cos \theta ,r\sin \theta)|\leq g(r)

Αν
\lim_{r\rightarrow 0^{+}}g(r)=0
τότε
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0
Αυτό είναι σωστό, παρότι δεν μας εξήγησες τι ισχύει για το \epsilon ή αν η g πρέπει να είναι ανεξάρτητη του \theta. Ένα reference σε κάποια πηγή θα ήταν χρήσιμο...

Τέλος δεν ήταν καθόλου σαφές ότι εννοούσες αυτό όταν έγραφες:
"Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."
τελευταία επεξεργασία από kharga σε Τρί Ιούλ 21, 2020 11:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12303
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 am

kharga έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 9:43 am

Αυτό είναι σωστό, παρότι δεν μας εξήγησες τι ισχύει για το \epsilon ή αν η g πρέπει να είναι ανεξάρτητη του \theta.
Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω g από το \theta
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
... υπάρχει g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}
συνάρτηση ώστε ...
Η g είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι \epsilon>0, αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή (0, \epsilon) του πεδίου ορισμού της.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 686
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιούλ 21, 2020 10:51 am

kharga έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 9:43 am

Όταν λέμε όριο συνάρτησης για (x,y)\to (0,0) ζητάμε ένα \delta>0 και μελετάμε για 0<\|(x,y)\|<\delta δηλαδή (x,y)\neq (0,0). Αυτό είναι στάνταρ για όλα τα όρια όλων των απειροστικών, μην το συζητήσουμε.
To (x,y)\neq (0,0) δεν συνεπάγεται x\neq 0.


kharga
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 15, 2013 2:25 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kharga » Τρί Ιούλ 21, 2020 11:35 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:51 am
To (x,y)\neq (0,0) δεν συνεπάγεται x\neq 0.
Ναι, σωστά, είχε δίκιο ο Σταύρος Παπαδόπουλος ως προς αυτό, το έκανα edit και στο αρχικό


kharga
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 15, 2013 2:25 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kharga » Τρί Ιούλ 21, 2020 11:46 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 am
Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω g από το \theta
όχι, αυτό ήθελα να πω. Μπορώ πχ να πάρω g:(0,\epsilon)\to\mathbb{R}, g(r)=\frac{1}{r^2(cos\theta)^2} βλέποντας το \theta σαν σταθερά; Η απάντηση είναι οχι αλλά αυτό πρέπει να διευκρινιστεί.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 am
Η g είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι \epsilon>0, αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή (0, \epsilon) του πεδίου ορισμού της.
Νομίζω είναι γνωστό ότι όταν γράφουμε \epsilon κάπου, όλοι περιμένουμε ότι έχει ειπωθεί κάπου πιο πριν το "έστω \epsilon>0". Αν ήθελε να γράψει τυχαίο διάστημα το βιβλίο από το οποίο έγινε το copy-paste θα έγραφε (0,a). Ακόμα περιμένω αυτό το reference...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες