Ύπαρξη μετρικής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2758
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ύπαρξη μετρικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 15, 2019 7:18 pm

Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής |\cdot| του \mathbb{R}, τέτοια ώστε το σύνολο \big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big), εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2255
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη μετρικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 19, 2019 12:30 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2758
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ύπαρξη μετρικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Απρ 20, 2019 9:45 pm

grigkost έγραψε:
Δευ Απρ 15, 2019 7:18 pm
Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής |\cdot| του \mathbb{R}, τέτοια ώστε το σύνολο \big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big), εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;
Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική |\cdot| του \mathbb{R}.


(*) Λέμε ότι οι μετρικές \rho_1,\,\rho_2 (ορισμένες επί ενός συνόλου X) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί a και b, τέτοιοι ώστε για κάθε x,y\in X να ισχύει a\,\rho_1(x,y)\leqslant\rho_2(x,y)\leqslant b\,\rho_1(x,y)\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11002
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη μετρικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 9:57 pm

grigkost έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 9:45 pm
grigkost έγραψε:
Δευ Απρ 15, 2019 7:18 pm
Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής |\cdot| του \mathbb{R}, τέτοια ώστε το σύνολο \big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big), εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;
Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική |\cdot| του \mathbb{R}.


(*) Λέμε ότι οι μετρικές \rho_1,\,\rho_2 (ορισμένες επί ενός συνόλου X) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί a και b, τέτοιοι ώστε για κάθε x,y\in X να ισχύει a\,\rho_1(x,y)\leqslant\rho_2(x,y)\leqslant b\,\rho_1(x,y)\,.
Όχι δεν υπάρχει ισχυρά ισοδύναμη μετρική που κάνει τον χώρο πλήρη: Με χρήση του γεγονότος ότι οι ισοδύναμες μετρικές έχουν τις ίδιες συγκλίνουσες και τις ίδιες ακολουθίες Cauchy (άμεσο), εξετάζουμε την ακολουθία  \frac {\pi}{2} - \frac {1}{n} . Είναι Cauchy ως προς την ισχυρά ισοδύναμη μετρική επειδή είναι Cauchy ως προς την συνήθη. Αλλά ως προς την συνήθη μετρική δεν συγκλίνει (το υποψήφιο όριο \frac {\pi}{2} είναι εκτός χώρου), άρα δεν συγκλίνει ούτε ως προς την ισοδύναμη.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2255
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη μετρικής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 21, 2019 4:52 pm

Εστω f:(- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow \mathbb{R}

γνησίως αύξουσα με

f((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))=\mathbb{R}
(αυτόματα θα είναι και συνεχής)

π.χ f(x)=\tan x

Η \rho (x,y)=|f(x)-f(y)|
είναι μετρική (μόνο το 1-1 χρειάζεται για αυτό)

είναι ισοδύναμη με την συνήθη γιατί

x_{n}\rightarrow x\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x)

λόγω συνέχειας της f και

f(x_{n})\rightarrow f(x) \Rightarrow x_{n} \rightarrow x

λόγω συνέχειας τηςf^{-1}

Θα δείξουμε τώρα ότι ο ((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )
είναι πλήρης.

Εστω (x_{n})_{n\in \mathbb{N}}

βασική στον ((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )

Τότε η (f(x_{n}))_{n\in \mathbb{N}}

είναι βασική στο \mathbb{R}

Αφού είναι πλήρης

f(x_{n})\rightarrow a,a\in \mathbb{R}

Αλλά υπάρχει x\in \mathbb{R}

με f(x)=a

Αρα x_{n}\rightarrow x στον

((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )

και τελειώσαμε.

Γενικότερα ισχύει : αν U ανοικτό του πλήρους μετρικού χώρου (X,d)

τότε με την μετρική

\rho (x,y)=d(x,y)+|\frac{1}{dis(x,X-U)}-\frac{1}{dis(y,X-U)}|

ο (U,\rho )

είναι πλήρης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης