Ύπαρξη μετρικής
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Ύπαρξη μετρικής
Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής του , τέτοια ώστε το σύνολο , εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη μετρικής
Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική του .
(*) Λέμε ότι οι μετρικές (ορισμένες επί ενός συνόλου ) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί και , τέτοιοι ώστε για κάθε να ισχύει
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ύπαρξη μετρικής
Όχι δεν υπάρχει ισχυρά ισοδύναμη μετρική που κάνει τον χώρο πλήρη: Με χρήση του γεγονότος ότι οι ισοδύναμες μετρικές έχουν τις ίδιες συγκλίνουσες και τις ίδιες ακολουθίες Cauchy (άμεσο), εξετάζουμε την ακολουθία . Είναι Cauchy ως προς την ισχυρά ισοδύναμη μετρική επειδή είναι Cauchy ως προς την συνήθη. Αλλά ως προς την συνήθη μετρική δεν συγκλίνει (το υποψήφιο όριο είναι εκτός χώρου), άρα δεν συγκλίνει ούτε ως προς την ισοδύναμη.grigkost έγραψε: ↑Σάβ Απρ 20, 2019 9:45 pmΈνα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική του .
(*) Λέμε ότι οι μετρικές (ορισμένες επί ενός συνόλου ) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί και , τέτοιοι ώστε για κάθε να ισχύει
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ύπαρξη μετρικής
Εστω
γνησίως αύξουσα με
(αυτόματα θα είναι και συνεχής)
π.χ
Η
είναι μετρική (μόνο το 1-1 χρειάζεται για αυτό)
είναι ισοδύναμη με την συνήθη γιατί
λόγω συνέχειας της και
λόγω συνέχειας της
Θα δείξουμε τώρα ότι ο
είναι πλήρης.
Εστω
βασική στον
Τότε η
είναι βασική στο
Αφού είναι πλήρης
Αλλά υπάρχει
με
Αρα στον
και τελειώσαμε.
Γενικότερα ισχύει : αν ανοικτό του πλήρους μετρικού χώρου
τότε με την μετρική
ο
είναι πλήρης.
γνησίως αύξουσα με
(αυτόματα θα είναι και συνεχής)
π.χ
Η
είναι μετρική (μόνο το 1-1 χρειάζεται για αυτό)
είναι ισοδύναμη με την συνήθη γιατί
λόγω συνέχειας της και
λόγω συνέχειας της
Θα δείξουμε τώρα ότι ο
είναι πλήρης.
Εστω
βασική στον
Τότε η
είναι βασική στο
Αφού είναι πλήρης
Αλλά υπάρχει
με
Αρα στον
και τελειώσαμε.
Γενικότερα ισχύει : αν ανοικτό του πλήρους μετρικού χώρου
τότε με την μετρική
ο
είναι πλήρης.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 17 επισκέπτες