Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

#1

Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2019 1:06 pm
Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του.

-----------

Διαγραφή λόγω λάθους μετά από επισήμανση του κ.Γρηγόρη

Stelios V8 · #3

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο τότε $A= A\cap \mathbb{R}=A\cap \bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left [ k,k+1 \right ]=\bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right )$

και αφού

άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος

τέτοιος ώστε $B=A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right$ άπειρο .

Το

είναι κλειστό στο

και φραγμένο , πιο συγκεκριμένα είναι ένα άπειρο υποσύνολο του συμπαγούς $\left [ k,k+1 \right ]$

άρα το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του

είναι μη κενό, ειδικότερα του $A\supseteq B$ είναι μη κενό .

Παραπάνω χρησιμοποίησα τον χαρακτηρισμό :

συμπαγής $\Leftrightarrow$ κάθε άπειρο $E\subseteq X$ έχει σημείο συσσώρευσης .

Stelios V8 · #4

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο και υποθέτουμε , προς απαγωγή σε άτοπο , ότι το

δεν περιέχει κανένα σημείο συσσώσευσής του . Έτσι για ένα $x\in A$ έχουμε πως

$\exists \delta \equiv \delta \left ( x \right )> 0 : \left ( x-\delta ,x+\delta \right )\cap A=\left \{ x \right \}$ ισοδύναμα

$\exists \nu \equiv \nu \left ( x \right )\in\mathbb{N} : \left (x-\frac{1}{\nu },x+ \frac{1}{\nu } \right )\cap A=\left \{ x \right \}$ επομένως

$A\subseteq \left \{ x\in A : \exists n\in\mathbb{N} : \left ( x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n} \right )\cap A=\left \{ x \right \} \right \}=\bigcup_{n=1}^{\infty }\left \{ x\in A :\left ( x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n} \right )\cap A=\left \{ x \right \} \right \}$ .

Άρα υπάρχει $n\in\mathbb{N}$ τέτοιο ώστε το σύνολο $B= \left \{ x\in A :\left ( x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n} \right )\cap A=\left \{ x \right \} \right \}$ να είναι υπερριθμήσιμο .

Θεωρούμε την οικογένεια $O=\left \{ \left ( x-\frac{1}{2n},x+\frac{1}{2n} \right )\cap A : x\in B \right \}$ και παρατηρούμε ότι αποτελείται από υπεραριθμήσιμα το πλήθος

ξένα ανά δύο ανοικτά διαστήματα , πράγμα άτοπο καθώς έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι ο $\mathbb{R}$ είναι διαχωρίσιμος .

Παραπάνω χρησιμοποίησα την παρατήρηση :

διαχωρίσιμος $\Rightarrow$ δεν υπάρχουν υπεραριθμήσιμες το πλήθος ξένες ανά δύο ανοικτές μπάλες στον

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Stelios V8 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 10, 2019 4:36 am
Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο τότε $A= A\cap \mathbb{R}=A\cap \bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left [ k,k+1 \right ]=\bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right )$

και αφού άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε $B=A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right$ άπειρο .

Το είναι κλειστό στο και φραγμένο , πιο συγκεκριμένα είναι ένα άπειρο υποσύνολο του συμπαγούς $\left [ k,k+1 \right ]$

άρα το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του είναι μη κενό, ειδικότερα του $A\supseteq B$ είναι μη κενό .

Παραπάνω χρησιμοποίησα τον χαρακτηρισμό :

συμπαγής $\Leftrightarrow$ κάθε άπειρο $E\subseteq X$ έχει σημείο συσσώρευσης .

Δεν είναι σωστός ο συλλογισμός.
Ο λόγος είναι ότι δεν γνωρίζουμε αν το σ.σ ανήκει στο σύνολο.
Το

συμπαγής $\Leftrightarrow$ κάθε άπειρο $E\subseteq X$
μας λέει ότι το

έχει σ.σ αλλά δεν μας λέει αν ανήκει σε αυτό.
Για να είχαμε το αποτέλεσμα θα έπρεπε το

να ήταν κλειστό στο [k,k+1]

που δεν γνωρίζουμε.

mikemoke · #6

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2019 1:06 pm
Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του.

Έστω

το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα $x\in A$ δεν είναι σ.σ του

.
Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A=\{x\}$ .
Παρατηρούμε τώρα ότι αν $\forall x\in A$ ορίσουμε $A_x:=(x-\frac{\epsilon_{x}}{2},x+\frac{\epsilon_x}{2})$ τότε $\forall y\neq z \in A$ ισχύει ότι $A_y\cap A_z=\varnothing.$
Με βάση αυτό μπορούμε να έχουμε μια 1-1 αντιστοιχία του

με το $\mathbb{Q}$ , πράγμα άτοπο. Kαι το ζητούμενο έπεται.

Stelios V8 · #7

Στην πρώτη λύση δείχνω ότι ${A}'\neq \varnothing$ αντί του $A\cap {A}'\neq \varnothing$ .

Πολύ σωστή η επισήμανση του κύριου Σταύρου .

#8

mikemoke έγραψε: ↑
Τετ Απρ 10, 2019 4:17 pm
...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ...

Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$ . Κάτι άλλο είχατε κατά νου...

mikemoke · #9

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Απρ 10, 2019 6:12 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Τετ Απρ 10, 2019 4:17 pm
...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ...
Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$ . Κάτι άλλο είχατε κατά νου...

Ευχαριστώ , το σωστό είναι : $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\,{\color{red}{=\{x\}$

Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Μέλη σε σύνδεση