Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
-----------
Διαγραφή λόγω λάθους μετά από επισήμανση του κ.Γρηγόρη
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Έστω υπεραριθμήσιμο τότε
και αφού άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε άπειρο .
Το είναι κλειστό στο και φραγμένο , πιο συγκεκριμένα είναι ένα άπειρο υποσύνολο του συμπαγούς
άρα το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του είναι μη κενό, ειδικότερα του είναι μη κενό .
Παραπάνω χρησιμοποίησα τον χαρακτηρισμό :
συμπαγής κάθε άπειρο έχει σημείο συσσώρευσης .
και αφού άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε άπειρο .
Το είναι κλειστό στο και φραγμένο , πιο συγκεκριμένα είναι ένα άπειρο υποσύνολο του συμπαγούς
άρα το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του είναι μη κενό, ειδικότερα του είναι μη κενό .
Παραπάνω χρησιμοποίησα τον χαρακτηρισμό :
συμπαγής κάθε άπειρο έχει σημείο συσσώρευσης .
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Έστω υπεραριθμήσιμο και υποθέτουμε , προς απαγωγή σε άτοπο , ότι το
δεν περιέχει κανένα σημείο συσσώσευσής του . Έτσι για ένα έχουμε πως
ισοδύναμα
επομένως
.
Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε το σύνολο να είναι υπερριθμήσιμο .
Θεωρούμε την οικογένεια και παρατηρούμε ότι αποτελείται από υπεραριθμήσιμα το πλήθος
ξένα ανά δύο ανοικτά διαστήματα , πράγμα άτοπο καθώς έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι ο είναι διαχωρίσιμος .
Παραπάνω χρησιμοποίησα την παρατήρηση :
διαχωρίσιμος δεν υπάρχουν υπεραριθμήσιμες το πλήθος ξένες ανά δύο ανοικτές μπάλες στον .
δεν περιέχει κανένα σημείο συσσώσευσής του . Έτσι για ένα έχουμε πως
ισοδύναμα
επομένως
.
Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε το σύνολο να είναι υπερριθμήσιμο .
Θεωρούμε την οικογένεια και παρατηρούμε ότι αποτελείται από υπεραριθμήσιμα το πλήθος
ξένα ανά δύο ανοικτά διαστήματα , πράγμα άτοπο καθώς έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι ο είναι διαχωρίσιμος .
Παραπάνω χρησιμοποίησα την παρατήρηση :
διαχωρίσιμος δεν υπάρχουν υπεραριθμήσιμες το πλήθος ξένες ανά δύο ανοικτές μπάλες στον .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Δεν είναι σωστός ο συλλογισμός.Stelios V8 έγραψε: ↑Τετ Απρ 10, 2019 4:36 amΈστω υπεραριθμήσιμο τότε
και αφού άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε άπειρο .
Το είναι κλειστό στο και φραγμένο , πιο συγκεκριμένα είναι ένα άπειρο υποσύνολο του συμπαγούς
άρα το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του είναι μη κενό, ειδικότερα του είναι μη κενό .
Παραπάνω χρησιμοποίησα τον χαρακτηρισμό :
συμπαγής κάθε άπειρο έχει σημείο συσσώρευσης .
Ο λόγος είναι ότι δεν γνωρίζουμε αν το σ.σ ανήκει στο σύνολο.
Το
συμπαγής κάθε άπειρο
μας λέει ότι το έχει σ.σ αλλά δεν μας λέει αν ανήκει σε αυτό.
Για να είχαμε το αποτέλεσμα θα έπρεπε το να ήταν κλειστό στο
που δεν γνωρίζουμε.
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Έστω το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα δεν είναι σ.σ του .
Τότε .
Παρατηρούμε τώρα ότι αν ορίσουμε τότε ισχύει ότι
Με βάση αυτό μπορούμε να έχουμε μια 1-1 αντιστοιχία του με το , πράγμα άτοπο. Kαι το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Τετ Απρ 10, 2019 6:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Στην πρώτη λύση δείχνω ότι αντί του .
Πολύ σωστή η επισήμανση του κύριου Σταύρου .
Πολύ σωστή η επισήμανση του κύριου Σταύρου .
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού και . Κάτι άλλο είχατε κατά νου...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες