Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Δευ Μαρ 25, 2019 10:44 pm

Έχουμε \displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 
xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\  
0 & (x,y)=(0,0) 
\end{matrix}\right. } Υπολογίστε  f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0) .

- Βρήκα f_{x} και για την f_{xy}(0,0) πήρα το όριο:
\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}
Για  f_{x}(0,0) πήρα επίσης το όριο:
\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}
Προέκυψε f_{x}(0,0) = 0 και f_{x}(0,y) = -2y , άρα \displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην f_{yx}(0,0) και βγήκε \displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 25, 2019 11:38 pm

lefsk έγραψε:
Δευ Μαρ 25, 2019 10:44 pm
Έχουμε \displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 
xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\  
0 & (x,y)=(0,0) 
\end{matrix}\right. } Υπολογίστε  f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0) .

- Βρήκα f_{x} και για την f_{xy}(0,0) πήρα το όριο:
\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}
Για  f_{x}(0,0) πήρα επίσης το όριο:
\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}
Προέκυψε f_{x}(0,0) = 0 και f_{x}(0,y) = -2y , άρα \displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην f_{yx}(0,0) και βγήκε \displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Δεν έχω ελέγξει τις πράξεις σου αλλά δεν υπάρχει κάτι που να δείχνει ότι δεν είσαι σωστός.

Γενικά μπορεί να συμβαίνει ότι

\displaystyle{f_{yx}(0,0) \neq f_{xy}(0,0)   }


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Δευ Μαρ 25, 2019 11:53 pm

Άρα η διαδικασία που έχω ακολουθήσει είναι σωστή; Φτάνει μόνο να επαληθεύσω αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις;


stranger
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Μαρ 26, 2019 6:06 am

Ναι, η διαδικασία της λύσης σου είναι απόλυτα σωστή.Αν υπάρχει λάθος θα είναι στις πράξεις τις οποίες δεν έκατσα να τις κάνω.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Μαρ 26, 2019 11:45 am

Η f_{yx}(0,0) κάνει 1 και όχι 0. Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 26, 2019 12:04 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Μαρ 26, 2019 11:45 am
Η f_{yx}(0,0) κάνει 1 και όχι 0. Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!
Εκανα και εγώ τις πράξεις.

Με f_{yx}(0,0)=1 και f_{xy}(0,0)=-2

όλα είναι εντάξει


stranger
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μαρ 27, 2019 1:05 am

Εδώ αξίζει να πούμε ότι το μόνο σημείο που ενδέχεται f_{xy} \neq f_{yx} είναι το (0,0). Αυτό γιατί η συνάρτηση που είπες είναι C^{\infty} στο \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες