Ας παράξουμε ... όγκο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές $x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right)$ , $y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right)$ όπου $\theta \in [0, 2\pi]$ γύρω από τη βάση του είναι $5\pi^2 \alpha^3$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές $x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right)$ , $y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right)$ όπου $\theta \in [0, 2\pi]$ γύρω από τη βάση του είναι $5\pi^2 \alpha^3$ .

Απόστολε καλημέρα....

Κατ' αρχήν ας δούμε το στερεό αυτό που παράγεται από την περιστροφή της κυκλοειδούς καμπύλης γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{Ox}$ .
Ατό φαίνεται στα τρία ακόλουθα σχήματα:

1ο σχήμα

: Στερεό κυκλοειδούς 1.png (53.8 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

2ο σχήμα

: Στερεό κυκλοειδούς 2.png (64.28 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

3ο σχήμα

: Στερεό κυκλοειδούς 3.png (43.46 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα για να δει κανείς και την κινητικότητα του
σχηματισμού αυτών.

Μέτρηση όγκου 2.ggb: (13.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 21 φορές

Για τη μέτρηση του όγκου σε επόμενο μήνυμα....

Κώστας Δόρτσιος

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές $x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right)$ , $y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right)$ όπου $\theta \in [0, 2\pi]$ γύρω από τη βάση του είναι $5\pi^2 \alpha^3$ .

(Συνέχεια από την προηγούμενη ανάρτηση)

Για τον υπολογισμό του όγκου του στερεού που παράγεται από την
πλήρη περιστροφή της κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα τον $\displaystyle{Ox}$ ,
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Στερεό κυκλοειδούς 4.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Θυμίζουμε ότι η παραμετρική εξίσωση της κυκλοειδούς στους άξονες $\displaystyle{Ox, Oz}$ ,
είναι η ακόλουθη:

$\displaystyle{\begin{matrix} x(t)=a(t-sin(t))\\z(t)=a(1-cos(t)) \end{Bmatrix},\ \ t\in{[0,2\pi]} \ \ (1)}$

Αν θεωρήσουμε τώρα ένα στοιχειώδη κύλινδρο με βάση τον κύκλο ακτίνας ίσης με $\displaystyle{z}$ και ύψος
το στοιχειώδες $\displaystyle{dx}$ , τότε ο όγκος αυτού και λόγω των (1), θα είναι:

$\displaystyle{V_i=\pi z^2 dx=\pi a^2(1-cos(t))^2 (a(t-sin(t)))'dt =\pi a^3 (1-cos(t))^3 dt }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{V_i=\pi a^3(1-cos(t))^3dt \ \ (2)}$

όπου $\displaystyle{a}$ η ακτίνα του κύκλου ο οποίος παρήγαγε την κυκλοειδή αυτή.

Άρα ο συνολικός όγκος του στερεού αυτού είναι:

$\displaystyle{V=\pi \int_{0}^{2\pi} a^3(1-cos(t))^3dt =\pi a^3 \int_{0}^{2\pi}(1-1+2sin^2(\frac{t}{2}))^3dt =8 \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} sin^6(\frac{t}{2})dt }$

$\displaystyle{\Rightarrow V=16 \pi a^3 \int_{0}^{\pi} sin^6(w)dw \ \ (3)}$

Υπολογίζοντας (εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:

$\displaystyle{V=5 \pi ^2 a^3 }$

Κώστας Δόρτσιος

Tolaso J Kos · #4

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 28, 2019 11:18 pm

$\displaystyle{\Rightarrow V=16 \pi a^3 \int_{0}^{\pi} sin^6(w)dw \ \ (3)}$

Υπολογίζοντας (εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:

$\displaystyle{V=5 \pi ^2 a^3 }$

Κώστας Δόρτσιος

Θαρρώ ναι!

$\displaystyle{\begin{aligned} 16\pi a^3 \int_{0}^{\pi} \sin^6 x\, \mathrm{d}x &= 32\pi a^3 \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \, \mathrm{d}x \\ &=32 \pi a^3 \cdot \frac{1}{2} \; \mathrm{B} \left ( \frac{7}{2} , \frac{1}{2} \right ) \\ &=16 \pi a^3 \frac{\Gamma \left ( \frac{7}{2} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( 4 \right )} \\ &= 16 \pi a^3 \frac{15\sqrt{\pi} \sqrt{\pi}}{8 \cdot 3!}\\ &= 5 \pi^2 a^3 \end{aligned}}$
διότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \sin^n x\cos^m x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \;\mathrm{B} \left ( \frac{n+1}{2} , \frac{m+1}{2} \right )}$ όπου $\mathrm{B}$ η συνάρτηση Βήτα του Euler.

Τέλος, είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \Gamma \left ( \frac{7}{2} \right ) &= \Gamma \left ( 1+\frac{5}{2} \right ) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \Gamma \left ( \frac{5}{2} \right ) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \Gamma \left ( 1 + \frac{3}{2} \right ) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \Gamma \left ( 1+ \frac{1}{2} \right ) \\ &= \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \\ &= \frac{15 \sqrt{\pi}}{8} \end{aligned}}$
διότι $\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #5

Πέρα από τη Β συνάρτηση μπορούμε να χρησιμοποιούμε και τον αναδρομικό τύπο:

$\displaystyle{\int \sin^m u \; \mathrm{d}u = -\frac{\cos u \sin^{m-1} u} {m}+\frac{m-1}{m}\int \sin^{m-2}u \; \mathrm{d}u}$
δύο φορές και να καταλήξουμε στο εξής:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \sin^6 x \, \mathrm{d}x = \frac{5}{8} \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, \mathrm{d}x = \frac{5 \pi}{16} }$

Ας παράξουμε ... όγκο

Ας παράξουμε ... όγκο

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

Μέλη σε σύνδεση