Αρμονικό άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο

-οστός αρμονικός όρος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^2}{n(n+1)} = 3\zeta(3)}$
όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Tolaso J Kos · #2

Μία λύση ...!! Αφού ο @Σεραφείμ λείπει και κανείς άλλος δε με παίζει σε αυτού του είδους τα θέματα ...

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^2}{n\left ( n+1 \right )} &= \sum_{n=1}^{\infty}\mathcal{H}_n^2 \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} - \frac{\mathcal{H}_n^2}{n+1} \right] \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} - \frac{\left ( \mathcal{H}_{n+1} - \frac{1}{n+1} \right )^2}{n+1} \right] \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} -\frac{\mathcal{H}_{n+1}^2}{n+1} \right ] + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n+1}}{\left ( n+1 \right )^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3} \\ &= 1 - \cancelto{0}{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\mathcal{H}_{n+1}^2}{n+1}} + 2 \left ( 2 \zeta(3) - 1 \right ) - \left ( \zeta(3) - 1 \right ) \\ &=1 + 4 \zeta(3) - 2 - \zeta(3) + 1 \\ &=3\zeta(3) \end{aligned}}$

Αρμονικό άθροισμα

Αρμονικό άθροισμα

Re: Αρμονικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση