Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

MathSc · #1

Υποθέτουμε οτι η $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} }$ είναι μια γραμμικη απεικόνιση. Ποια είναι η παραγωγος της

;

Ξερω τι είναι γραμμικη απεικόνιση.
Επίσης ξερω οτι η παραγωγος $Df(x_{0})$ της $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (f_{1},f_{2},...,f_{m})$ στο σημείο $x_{0}$ είναι ενας $m\times n$ πινακας με τιμες $t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$ υπολογισμενες στο σημείο αυτό.

Τι πρέπει να γράψω για να είναι σωστή η ασκηση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

#2

MathSc έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 13, 2019 2:36 am
Υποθέτουμε οτι η $\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} }$ είναι μια γραμμικη απεικόνιση. Ποια είναι η παραγωγος της ;
Επίσης ξερω οτι η παραγωγος $Df(x_{0})$ της $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (f_{1},f_{2},...,f_{m})$ στο σημείο $x_{0}$ είναι ενας $m\times n$ πινακας με τιμες $t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$ υπολογισμενες στο σημείο αυτό.

Η παράγωγος μιας τυχούσας διαφορίσιμης απεικόνισης $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ είναι σε κάθε σημείο $\overline{x}_0$ μια γραμμική απεικόνιση (με αντίστοιχο πίνακα με τιμές $t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$ ).
Νύξη: Από σημείο σε σημείο $\overline{x}_0$ , αυτός ο πίνακας είναι, εν γένει, διαφορετικός. Τι συμβαίνει όταν η απεικόνιση

είναι γραμμική;

#3

Θα προτιμούσα να υπάρχει "αντίδραση" από τον MathSc, αλλά...Μια λύση είναι η εξής:

Επειδή για την γραμμική απεικόνιση $\overline{f}: {\mathbb{R}}^{n}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{m}\,;\quad\overline{x}\longmapsto A\,\overline{x}$ με πίνακα

ισχύει

$\begin{aligned} \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{\overline{f}({\overline{x}+\overline{\eta}})-f(\overline{x})-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}&=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{A\,(\overline{x}+\overline{\eta})-A\,\overline{x}-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{A\,\overline{x}+A\,\overline{\eta}-A\,\overline{x}-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{\overline{0}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\overline{0}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\overline{0}\,, \end{aligned}$
έπεται ότι η συνάρτηση $\overline{f}$ είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο $\overline{x}\in{\mathbb{R}}^n$ με παράγωγο ${\bf{D}}\overline{f}(\overline{x})=J_{\overline{f}}(\overline{x})=A(\overline{x})=A\in{\mathbb{R}}^{m\times n}$ .

MathSc · #4

Συγγνώμη για την αργοπορημένη μου απάντηση.
Εγώ είπα το εξής:
$f=(f_{1},f_{2},...,f_{m}) , f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$
$\displaystyle{ \begin{pmatrix} f_{1}\\ f_{2}\\ ...\\ f_{m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}\\ a_{21}x_{1}+...+a_{2n}x_{n}\\ ...\\ a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... &a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix} = A \cdot \bar{x} }$
Μετά έδειξα ότι η παράγωγος της

, δηλαδή το

, είναι ο πίνακας

.
Και στο τέλος έδειξα ότι η

είναι όντως παραγωγίσιμη σ' ένα τυχαίο σημείο $\bar{x_{0}}$ λύνοντας το όριο.

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας!

#5

MathSc έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 19, 2019 4:08 am
...Εγώ είπα το εξής:
$f=(f_{1},f_{2},...,f_{m}) , f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$
$\displaystyle{ \begin{pmatrix} f_{1}\\ f_{2}\\ ...\\ f_{m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}\\ a_{21}x_{1}+...+a_{2n}x_{n}\\ ...\\ a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... &a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix} = A \cdot \bar{x} }$
Μετά έδειξα ότι η παράγωγος της , δηλαδή το , είναι ο πίνακας .
Και στο τέλος έδειξα ότι η είναι όντως παραγωγίσιμη σ' ένα τυχαίο σημείο $\bar{x_{0}}$ λύνοντας το όριο...

Πολύ καλά. Αυτός είναι ο δεύτερος τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος.

Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Μέλη σε σύνδεση