Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

MathSc
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τετ Μαρ 13, 2019 2:36 am

Υποθέτουμε οτι η \displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} } είναι μια γραμμικη απεικόνιση. Ποια είναι η παραγωγος της f;

Ξερω τι είναι γραμμικη απεικόνιση.
Επίσης ξερω οτι η παραγωγος  Df(x_{0}) της  f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (f_{1},f_{2},...,f_{m}) στο σημείο x_{0} είναι ενας m\times n πινακας με τιμες t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} υπολογισμενες στο σημείο αυτό.

Τι πρέπει να γράψω για να είναι σωστή η ασκηση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2743
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 13, 2019 8:05 am

MathSc έγραψε:
Τετ Μαρ 13, 2019 2:36 am
Υποθέτουμε οτι η \displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} } είναι μια γραμμικη απεικόνιση. Ποια είναι η παραγωγος της f;
Επίσης ξερω οτι η παραγωγος  Df(x_{0}) της  f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (f_{1},f_{2},...,f_{m}) στο σημείο x_{0} είναι ενας m\times n πινακας με τιμες t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} υπολογισμενες στο σημείο αυτό.
Η παράγωγος μιας τυχούσας διαφορίσιμης απεικόνισης f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} είναι σε κάθε σημείο \overline{x}_0 μια γραμμική απεικόνιση (με αντίστοιχο πίνακα με τιμές t_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}).
Νύξη: Από σημείο σε σημείο \overline{x}_0, αυτός ο πίνακας είναι, εν γένει, διαφορετικός. Τι συμβαίνει όταν η απεικόνιση f είναι γραμμική;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2743
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Παραγωγος γραμμικης απεικόνισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 14, 2019 9:59 am

Θα προτιμούσα να υπάρχει "αντίδραση" από τον MathSc, αλλά...Μια λύση είναι η εξής:

Επειδή για την γραμμική απεικόνιση \overline{f}: {\mathbb{R}}^{n}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{m}\,;\quad\overline{x}\longmapsto A\,\overline{x} με πίνακα A ισχύει

\begin{aligned} 
\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{\overline{f}({\overline{x}+\overline{\eta}})-f(\overline{x})-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}&=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{A\,(\overline{x}+\overline{\eta})-A\,\overline{x}-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{A\,\overline{x}+A\,\overline{\eta}-A\,\overline{x}-A\,\overline{\eta}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\frac{\overline{0}}{\|{\overline{\eta}}\|}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\mathop{\lim}\limits_{\overline{\eta}\to\overline{0}}{\overline{0}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\overline{0}\,, 
\end{aligned}
έπεται ότι η συνάρτηση \overline{f} είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο \overline{x}\in{\mathbb{R}}^n με παράγωγο {\bf{D}}\overline{f}(\overline{x})=J_{\overline{f}}(\overline{x})=A(\overline{x})=A\in{\mathbb{R}}^{m\times n}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες