Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Jim P
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 11:34 pm

Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jim P » Πέμ Φεβ 28, 2019 12:28 am

Καλησπέρα, εδώ και μερικές μέρες διαβάζω διαφορικό λογισμό και μου δημιουργήθηκε μία απορία για την οποία όσο ψάχνω απάντηση τόσο πιο δύσκολο μου φαίνεται να την λύσω.Η απορία μου είναι η εξής:

Έχω συναντήσει μπροστά μου σε πανεπιστημιακά συγγράμματα,ότι σε περίπτωση που f'(a)=\infty (με f συνεχής), έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη την x=a.Τότε ισχύει ότι \tan \omega =\infty άρα και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης μας είναι \infty.Λέμε όμως από το λύκειο ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μίας κατακόρυφης ευθείας δεν ορίζεται.Πως λοιπόν εξηγείται το παραπάνω.Δεν ορίζεται ή ισούται με άπειρο?Έχω χαθεί λιγάκι....



Λέξεις Κλειδιά:
NIZ
Δημοσιεύσεις: 268
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NIZ » Πέμ Φεβ 28, 2019 1:59 pm

Jim P έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 12:28 am
Τότε ισχύει ότι \tan \omega =\infty άρα και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης μας είναι \infty.Λέμε όμως από το λύκειο ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μίας κατακόρυφης ευθείας δεν ορίζεται.Πως λοιπόν εξηγείται το παραπάνω.Δεν ορίζεται ή ισούται με άπειρο?Έχω χαθεί λιγάκι....
Ποια είναι η γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι \infty ;
Επειδή η εφαπτoμένη του \frac{ \pi}{2} δεν ορίζεται, δεν λέμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο  M(a,f(a)), όταν αυτή είναι κατακόρυφη, είναι  \infty
Ακόμη στο σχολικό δεν γράφει ποτέ  f'(a) =  \infty


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Φεβ 28, 2019 2:34 pm

Jim P έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 12:28 am
Καλησπέρα, εδώ και μερικές μέρες διαβάζω διαφορικό λογισμό και μου δημιουργήθηκε μία απορία για την οποία όσο ψάχνω απάντηση τόσο πιο δύσκολο μου φαίνεται να την λύσω.Η απορία μου είναι η εξής:

Έχω συναντήσει μπροστά μου σε πανεπιστημιακά συγγράμματα,ότι σε περίπτωση που f'(a)=\infty (με f συνεχής), έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη την x=a.Τότε ισχύει ότι \tan \omega =\infty άρα και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης μας είναι \infty.Λέμε όμως από το λύκειο ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μίας κατακόρυφης ευθείας δεν ορίζεται.Πως λοιπόν εξηγείται το παραπάνω.Δεν ορίζεται ή ισούται με άπειρο?Έχω χαθεί λιγάκι....
Είναι θέμα σύμβασης και τίποτα παραπάνω. Δεν χρειάζεται να μπερδεύεσαι. Απλά όταν έχεις κατακόρυφη εφαπτομένη μπορείς να πεις ότι για αυτή δεν ορίζουμε κλίση ή ότι η κλίση της είναι άπειρη. Εξαρτάται από τη σύμβαση που ακολουθεί το εκάστοτε βιβλίο. Αυτό το πρόβλημα ενδεχομένως θα το συναντήσεις και αλλού για παράδειγμα στο βαθμό του μηδενικού πολυωνύμου. Άλλοι λένε ότι δεν ορίζεται βαθμός και άλλοι ότι είναι -\infty. Εικάζω ότι ο συγγραφέας στο βιβλίο που αναφέρεσε δουλεύει στο επεκτεταμένο σύνολο των πραγματικών σε αντίθεση με το σχολικό.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Φεβ 28, 2019 2:46 pm

1) Κατ' αρχήν, το σχολικό βιβλίο εξυπηρέτησε μιαν ανάγκη, αλλά δεν είναι και το καλύτερο εγχειρίδιο διαφορικού λογισμού.
2) Ας διευκρινίσουμε, επίσης, ότι από βιβλίο σε βιβλίο -συγγραφέα σε συγγραφέα- υπάρχουν κάποιες διαφορές για το πότε ορίζεται κατακόρυφη εφαπτομένη, αλλά αυτό δεν προκαλεί σύγχυση, αφού κάθε συγγραφέας ξεκαθαρίζει -σε κάποιο σημείο- το συγκεκριμένο θέμα.
3) Αν θέλουμε να μιλήσουμε για την κλίση της εφαπτομένης ευθείας, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε το όριο \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, αντί την εφαπτομένη της γωνίας \varphi που σχηματίζει η εφαπτομένη ευθεία με τον θετικό ημιάξονα των x.
Ως γνωστόν, αν το \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_0 και, τότε, ισούται με την \tan\varphi.
Αν \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty ή -\infty, τότε η κάθετη ευθεία x=x_0 μπορεί να θεωρηθεί ως εφαπτομένη ευθεία στην {\cal{C}}_f, αλλά με αρκετούς αστερίσκους. π.χ. τι θεωρούμε όταν \lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty και \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell\in\mathbb{R} ; ή όταν \lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty και \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty ; και όταν στην δεύτερη περίπτωση, η συνάρτηση είναι ακόμα και ασυνεχής στο x=x_0 ;

Όπως έγραψε και ο Λάμπρος παραπάνω αλλά και ο ίδιος: Είναι θέμα συμφωνίας, αλλά αυτό δεν μπερδεύει το συγκεκριμένο θέμα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Jim P
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 11:34 pm

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jim P » Πέμ Φεβ 28, 2019 4:59 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 2:34 pm
Είναι θέμα σύμβασης και τίποτα παραπάνω. Δεν χρειάζεται να μπερδεύεσαι. Απλά όταν έχεις κατακόρυφη εφαπτομένη μπορείς να πεις ότι για αυτή δεν ορίζουμε κλίση ή ότι η κλίση της είναι άπειρη. Εξαρτάται από τη σύμβαση που ακολουθεί το εκάστοτε βιβλίο. Αυτό το πρόβλημα ενδεχομένως θα το συναντήσεις και αλλού για παράδειγμα στο βαθμό του μηδενικού πολυωνύμου. Άλλοι λένε ότι δεν ορίζεται βαθμός και άλλοι ότι είναι -\infty. Εικάζω ότι ο συγγραφέας στο βιβλίο που αναφέρεσε δουλεύει στο επεκτεταμένο σύνολο των πραγματικών σε αντίθεση με το σχολικό.
grigkost έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 2:46 pm
1) Κατ' αρχήν, το σχολικό βιβλίο εξυπηρέτησε μιαν ανάγκη, αλλά δεν είναι και το καλύτερο εγχειρίδιο διαφορικού λογισμού.
2) Ας διευκρινίσουμε, επίσης, ότι από βιβλίο σε βιβλίο -συγγραφέα σε συγγραφέα- υπάρχουν κάποιες διαφορές για το πότε ορίζεται κατακόρυφη εφαπτομένη, αλλά αυτό δεν προκαλεί σύγχυση, αφού κάθε συγγραφέας ξεκαθαρίζει -σε κάποιο σημείο- το συγκεκριμένο θέμα.
3) Αν θέλουμε να μιλήσουμε για την κλίση της εφαπτομένης ευθείας, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε το όριο \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, αντί την εφαπτομένη της γωνίας \varphi που σχηματίζει η εφαπτομένη ευθεία με τον θετικό ημιάξονα των x.
Ως γνωστόν, αν το \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_0 και, τότε, ισούται με την \tan\varphi.
Αν \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty ή -\infty, τότε η κάθετη ευθεία x=x_0 μπορεί να θεωρηθεί ως εφαπτομένη ευθεία στην {\cal{C}}_f, αλλά με αρκετούς αστερίσκους. π.χ. τι θεωρούμε όταν \lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty και \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell\in\mathbb{R} ; ή όταν \lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty και \lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty ; και όταν στην δεύτερη περίπτωση, η συνάρτηση είναι ακόμα και ασυνεχής στο x=x_0 ;

Όπως έγραψε και ο Λάμπρος παραπάνω αλλά και ο ίδιος: Είναι θέμα συμφωνίας, αλλά αυτό δεν μπερδεύει το συγκεκριμένο θέμα.
Δεν περίμενα τόση γρήγορη αντίδραση!Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τον κόπο σας!
Το θέμα μου δημιουργήθηκε όταν σκέφτηκα ότι ουσιαστικά, διορθώστε με αν κάνω λάθος, το \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty σημαίνει ότι το όριο του συντελεστή διεύθυνσης είναι άπειρο και όχι ο συντελεστής \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.Ο συντελεστής σε αυτήν την περίπτωση που κουβεντιάζουμε δεν ορίζεται.Είναι \frac{1}{0}.Επομένως η κλίση δεν ορίζεται μεν, αλλά επειδή το όριο της ισούται με άπειρο λέμε και ότι "η κλίση είναι άπειρη".Κάπως έτσι το εννοείτε?
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 2:34 pm
Εικάζω ότι ο συγγραφέας στο βιβλίο που αναφέρεσε δουλεύει στο επεκτεταμένο σύνολο των πραγματικών σε αντίθεση με το σχολικό.
Δουλεύει στο \mathbb{R}.

Επίσης σύμφωνα με το :
grigkost έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 2:46 pm
Ως γνωστόν, αν το \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_0 και, τότε, ισούται με την \tan\varphi
καταλαβαίνω πως εφόσον έχουμε \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty , δεν μπορούμε να πούμε ότι η ποσότητα αυτή είναι ίση με την \tan\varphi άρα αυτό που είδα γραμμένο ως \tan \varphi =+\infty είναι λάθος.(Απειροστικος Λογισμος Ι,Σωτήρη Κ. Ντούγια σελ. 316)
Τα μπέρδεψα πάλι?


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Φεβ 28, 2019 5:28 pm

Jim P έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 4:59 pm
...Το θέμα μου δημιουργήθηκε όταν σκέφτηκα ότι ουσιαστικά, διορθώστε με αν κάνω λάθος, το \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty σημαίνει ότι το όριο του συντελεστή διεύθυνσης είναι άπειρο και όχι ο συντελεστής \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.Ο συντελεστής σε αυτήν την περίπτωση που κουβεντιάζουμε δεν ορίζεται.Είναι \frac{1}{0}.Επομένως η κλίση δεν ορίζεται μεν, αλλά επειδή το όριο της ισούται με άπειρο λέμε και ότι "η κλίση είναι άπειρη".Κάπως έτσι το εννοείτε?.....
κάπως έτσι..(βλέπε παρακάτω)
Jim P έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 4:59 pm
...καταλαβαίνω πως εφόσον έχουμε \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty , δεν μπορούμε να πούμε ότι η ποσότητα αυτή είναι ίση με την \tan\varphi άρα αυτό που είδα γραμμένο ως \tan \varphi =+\infty είναι λάθος.(Απειροστικος Λογισμος Ι,Σωτήρη Κ. Ντούγια σελ. 316)
Τα μπέρδεψα πάλι?
Όχι δεν το μπέρδεψες, αλλά και αυτό που γράφει ο κ. Ντούγιας δεν μπορεί να το πει κάποιος "λάθος". Όπως αναφέραμε παραπάνω είναι θέμα συμφωνίας του με ποιόν συμβολισμό περιγράφει κάποιος την συγκεκριμένη κατάσταση ( ο ίδιος θα απέφευγα τον συμβολισμό \tan \varphi =+\infty, αλλά...)

Βέβαια, υπάρχει το ερώτημα: γιατί υπάρχουν αυτές οι διαφορετικές προσεγγίσεις στην συγκεκριμένη έννοια; και η απάντηση είναι ότι: μερικές φορές -πολύ περισσότερες από ότι παραδεχόμαστε- συμβαίνει αυτό στα μαθηματικά.

Στην ουσία: Το όλο θέμα με την ύπαρξη -ή μη- της εφαπτομένης έχει να κάνει με την περιγραφή αυτής της (σπουδαίας) έννοιας του ρυθμού μεταβολής \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} των τιμών μιας συνάρτησης στην περιοχή του σημείου x_0. Αν αυτός ο ρυθμός σε ένα σημείο x_0 τείνει στο άπειρο, αυτό μπορούμε να το περιγράψουμε λέγοντας ότι η εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι κάθετη, ή ότι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας είναι \frac{\pi}{2}. (Το ίδιο και για τις πλευρικές παραγώγους.)


Υ.Γ. Ελπίζω να βοήθησα στην διευκρίνηση του θέματος.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Jim P
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 11:34 pm

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jim P » Πέμ Φεβ 28, 2019 6:50 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 5:28 pm
...ή ότι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας είναι \frac{\pi}{2}.
Σας κατάλαβα πλήρως μέχρι το σημείο αυτό! ^{\frac{\pi }{2}}?


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1623
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Φεβ 28, 2019 7:44 pm

Επειδη διάβαζα το βιβλίο αυτό ως φοιτητής ο Σ.Ντούγιας αναφέρει το "κατ' εκδοχήν παράγωγος". Έχει αλλάξει στην έκδοση που έχεις ;


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Jim P
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 11:34 pm

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jim P » Πέμ Φεβ 28, 2019 8:23 pm

Christos.N έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 7:44 pm
Επειδη διάβαζα το βιβλίο αυτό ως φοιτητής ο Σ.Ντούγιας αναφέρει το "κατ' εκδοχήν παράγωγος". Έχει αλλάξει στην έκδοση που έχεις ;
Όχι όχι το έχει και σε μένα.Το λέει μετά από αυτά που ανέφερα.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Φεβ 28, 2019 9:17 pm

Jim P έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 6:50 pm
grigkost έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 5:28 pm
...ή ότι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας είναι \frac{\pi}{2}.
Σας κατάλαβα πλήρως μέχρι το σημείο αυτό! ^{\frac{\pi }{2}}?
Το σημαντικό είναι το "κατάλαβα πλήρως" για το ουσιώδες. Όσο για το "κλίση της εφαπτομένης ευθείας είναι \frac{\pi}{2}" ήταν εντελώς ελεύθερη περιγραφή για την γωνία που σχηματίζει η κάθετη με τον θετικό ημιάξονα των x (μπορείς να την "προσπεράσεις").


Υ.Γ.1. Όπως δήλωσα και παραπάνω, ο ίδιος θα απέφευγα να χρησιμοποιήσω τον συμβολισμό \tan\varphi=\infty. Πάντως, ο κ. Ντούγιας χρησιμοποιεί αυτόν τον συμβολισμό (περίπτωση) για να εισάγει στην αμέσως επόμενη σελίδα (αναφέροντας αυτήν την περίπτωση) την έννοια της "κατ' εκδοχήν παραγώγου". Μαθηματικά, αυτό είναι θεμιτό.
Υ.Γ.2. Όπως ανέφερα και παραπάνω το ζητούμενο στα μαθηματικά είναι να μην υπάρχει αμφισημία ή ασάφεια στις έννοιες. Από την στιγμή που γνωρίζουμε γιατί "μιλάμε" η αυστηρότητα στον συμβολισμό έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Όμως συνιστώ ένθερμα τους νέους σπουδαστές των μαθηματικών να είναι αυστηροί στον συμβολισμό που χρησιμοποιούν (ιδιαίτερα όταν εξετάζονται), έως ότου εξοικειωθούν αρκετά με το αντικείμενο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Jim P
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 11:34 pm

Re: Κλίση κατακόρυφης εφαπτομένης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jim P » Πέμ Φεβ 28, 2019 11:00 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:17 pm
Το σημαντικό είναι το "κατάλαβα πλήρως" για το ουσιώδες. Όσο για το "κλίση της εφαπτομένης ευθείας είναι \frac{\pi}{2}" ήταν εντελώς ελεύθερη περιγραφή για την γωνία που σχηματίζει η κάθετη με τον θετικό ημιάξονα των x (μπορείς να την "προσπεράσεις").


Υ.Γ.1. Όπως δήλωσα και παραπάνω, ο ίδιος θα απέφευγα να χρησιμοποιήσω τον συμβολισμό \tan\varphi=\infty. Πάντως, ο κ. Ντούγιας χρησιμοποιεί αυτόν τον συμβολισμό (περίπτωση) για να εισάγει στην αμέσως επόμενη σελίδα (αναφέροντας αυτήν την περίπτωση) την έννοια της "κατ' εκδοχήν παραγώγου". Μαθηματικά, αυτό είναι θεμιτό.
Υ.Γ.2. Όπως ανέφερα και παραπάνω το ζητούμενο στα μαθηματικά είναι να μην υπάρχει αμφισημία ή ασάφεια στις έννοιες. Από την στιγμή που γνωρίζουμε γιατί "μιλάμε" η αυστηρότητα στον συμβολισμό έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Όμως συνιστώ ένθερμα τους νέους σπουδαστές των μαθηματικών να είναι αυστηροί στον συμβολισμό που χρησιμοποιούν (ιδιαίτερα όταν εξετάζονται), έως ότου εξοικειωθούν αρκετά με το αντικείμενο.
Κατάλαβα.Με βοηθήσατε πάρα πολύ, ευχαριστώ για τον χρόνο σας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης