
Σειρά με min
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 4493
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 4
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm
Re: Σειρά με min
Δεύτερη προσπάθεια, ελπίζω να μην έχει γίνει λάθος.
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :
Δουλεύουμε πρώτα το πρώτο πεπερασμένο άθροισμα
ως εξής :
Για n = 1 :
Για n = 2 :
Για n = 3 :
κ.ο.κ.
Ελέγχοντας μερικές τιμές του n ακόμα παρατηρούμε ότι οι όροι
και
θα εμφανίζονται στο τελικό άθροισμα
φορές. Aθροίζοντας τελικά πάνω στους δείκτες m και n θα πάρουμε το άθροισμα:
. Στην τελευταία ισότητα βγήκε ο όρος
κοινός παράγοντας και όλοι οι σταθεροί όροι βγήκαν έγω από το άθροισμα.
Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι:
Για
:
Με βάση το τελευταίο, έχουμε :
Άρα :
Για το δεύτερο άπειρο άθροισμα έχουμε ότι :
Τελικά παίρνοντας το άρθροισμα πάνω στο n και χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους γεωμετρικών σειρών προκύπτει :

Άρα το άρχικο άθροισμα ισούται με
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

Δουλεύουμε πρώτα το πρώτο πεπερασμένο άθροισμα

Για n = 1 :

Για n = 2 :

Για n = 3 :

Ελέγχοντας μερικές τιμές του n ακόμα παρατηρούμε ότι οι όροι





Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι:
Για


Με βάση το τελευταίο, έχουμε :

Άρα :

Για το δεύτερο άπειρο άθροισμα έχουμε ότι :
![\displaystyle \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}} = \frac{n}{3^n} \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{1}{3^m} = \frac{n}{3^n} \left[ \frac{1}{3^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+2}} + ... \right] = \frac{n}{3^{2n}} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... \right] = \frac{1}{2} \frac{n}{3^{2n}} \displaystyle \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}} = \frac{n}{3^n} \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{1}{3^m} = \frac{n}{3^n} \left[ \frac{1}{3^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+2}} + ... \right] = \frac{n}{3^{2n}} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... \right] = \frac{1}{2} \frac{n}{3^{2n}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f19e2c455f3e275f4c20d3299065de21.png)
Τελικά παίρνοντας το άρθροισμα πάνω στο n και χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους γεωμετρικών σειρών προκύπτει :

Άρα το άρχικο άθροισμα ισούται με

τελευταία επεξεργασία από TakasiMike σε Πέμ Φεβ 28, 2019 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13015
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σειρά με min
Για ξαναδές το αυτό.TakasiMike έγραψε: ↑Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pmΣταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :
![]()
-
- Δημοσιεύσεις: 4
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm
Re: Σειρά με min
Έχετε δίκιο, έγινε σοβαρό λάθος λόγω βιασύνης, θα το ξαναπροσπαθήσω.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Φεβ 27, 2019 10:47 pmΓια ξαναδές το αυτό.TakasiMike έγραψε: ↑Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pmΣταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :
![]()
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης