Σειρά με min

Tolaso J Kos

Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\min \left \{ m,n \right \}}{3^{m+n}}}$

TakasiMike

Δεύτερη προσπάθεια, ελπίζω να μην έχει γίνει λάθος.

Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

$\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}} + \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}}$

Δουλεύουμε πρώτα το πρώτο πεπερασμένο άθροισμα $\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}}$ ως εξής :

Για n = 1 : $\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^2}$
Για n = 2 : $\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^3} + \frac{2}{3^4}$
Για n = 3 : $\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^4} + \frac{2}{3^5} + \frac{3}{3^6}$ κ.ο.κ.

Ελέγχοντας μερικές τιμές του n ακόμα παρατηρούμε ότι οι όροι $\frac{1}{3^{2n}}$ και $\frac{1}{3^{2n+1}}$ θα εμφανίζονται στο τελικό άθροισμα $\frac{n(n+1)}{2}$ φορές. Aθροίζοντας τελικά πάνω στους δείκτες m και n θα πάρουμε το άθροισμα:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{2}( \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2n+1}}) = \frac{2}{3} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{9^k}$ . Στην τελευταία ισότητα βγήκε ο όρος $\frac{1}{3^{2n}}$ κοινός παράγοντας και όλοι οι σταθεροί όροι βγήκαν έγω από το άθροισμα.

Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι:

Για -1< x <1

: $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k \Rightarrow \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=0}^{+\infty} k x^{k-1} \Rightarrow \frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=0}^{+\infty} k(k-1) x^{k-2}$

Με βάση το τελευταίο, έχουμε :

$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{9^k} = \frac{1}{9} \frac{2}{(1-\frac{1}{9})^3} = \frac{81}{256}$

Άρα : $\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{2}{3} \frac{81}{256} = \frac{27}{128}$

Για το δεύτερο άπειρο άθροισμα έχουμε ότι :

$\displaystyle \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}} = \frac{n}{3^n} \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{1}{3^m} = \frac{n}{3^n} \left[ \frac{1}{3^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+2}} + ... \right] = \frac{n}{3^{2n}} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... \right] = \frac{1}{2} \frac{n}{3^{2n}}$

Τελικά παίρνοντας το άρθροισμα πάνω στο n και χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους γεωμετρικών σειρών προκύπτει :

$\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} n \left(\frac{1}{9}\right)^n = \frac{9}{128}$

Άρα το άρχικο άθροισμα ισούται με $\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{27}{128} + \frac{9}{128} = \frac{9}{32}$

TakasiMike έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pm
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

$\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}}$

Για ξαναδές το αυτό.

TakasiMike

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 10:47 pm

TakasiMike έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pm
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

$\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}}$
Για ξαναδές το αυτό.

Έχετε δίκιο, έγινε σοβαρό λάθος λόγω βιασύνης, θα το ξαναπροσπαθήσω.

Σειρά με min

Σειρά με min

Re: Σειρά με min

Re: Σειρά με min

Re: Σειρά με min

Μέλη σε σύνδεση